二、三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 1.长方体 定理3.1设f(x,y,z)在长方体V={a,bx|c,d×le,h 上的三重积分存在,且对任何x∈[a,bl 1(x)-0(xy3)存在,D=1, D 则积分d(x,y,)d也存在,且 D b f(x, y, z)dxdydz= dell f(x,y, z)dydz D 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 6 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 二、三重积分的计算 1. 长方体 设 f (x, y,z) 在长方体V [a,b][c,d] 上的三重积分存在 , 定理3.1 [e,h] 且对任何 x [a,b], 存在, D I(x) f (x, y,z)dydz D [c,d][e,h], V f (x, y,z)dxdydz ( , , ) D b a dx f x y z dydz ( , , ) D b a 则积分 dx f x y z dydz也存在, 且
若∫(x,y,z)在长方体V=a,b×,dl×e,hl 上连续,则 ∫dk=jad(x,ah =∫d/(x,)d D h dx dyl f(x,y,z)dz 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 7 ( , , ) . b d h a c e dx dy f x y z dz 若 f (x, y,z) 在长方体V [a,b][c,d] [e,h] 上连续,则 V f (x, y,z)dxdydz ( , , ) D h e dz f x y z dxdy D h e dxdy f (x, y,z)dz
2.一般区域 z=z2(x,y) (1)“先一后二法” 如 特点: 平行于z轴且通过D D 的内点的直线与V的 (x,y)/y=y2(x) 边界相交不多于两点.x y=y,(r) V={(x,y,x)|1(x,y)≤z≤2(x,y) y(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b} 目求上下贞返回”结果
目录 上页 下页 返回 结束 8 如 图 x y z o V D 1 z 2 z ( , ) 1 z z x y ( , ) 2 z z x y a b ( ) 1 y y x ( x, y) ( ) 2 y y x (1)“先一后二法” 2. 一般区域 特点 : 边界相交不多于两点． 的内点的直线与 的 平行于 轴且通过 V z D y1 (x) y y2 (x), a x b V {(x, y,z)| } ( , ) ( , ), 1 2 z x y z z x y
定理3.2设f(x,y,2)在V上连续,z1(x,y),2(x,y) 在D上连续,n1(x),y2(x)在a,b上连续, 则有 盯(x,2)h=订(xy,2lt D b y2(x) dx dy f(x,y, z)dz 乙1(x,y) 若D为Y型区域, () rz2(x,y) dylan f(x, y, z)da x1(y) Z1(x,y) 当投影到x平面或yz平面上时,结果类 目求上下贞返回”结果
目录 上页 下页 返回 结束 9 D z x y z x y V f x y z dxdydz dxdy f x y z dz ( , ) ( , ) 2 1 ( , , ) ( , , ) b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 ( , , ) 若D为Y型区域， d c x y x y z x y z x y dy dx f x y z dz ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 ( , , ) 当V投影到zx平面或yz平面上时,结果类似. 设 f (x, y,z) 在V上连续， ( , ), ( , ) 1 2 z x y z x y 在 D 上连续，y1 (x), y2 (x)在[a,b]上连续， 则有 定理3.2
例1计算[zd,其中v为由x≥0,y≥0,z≥0, x2+y2+z2≤R围成的区域 解V={(x,y,x)0≤z≤R2-x2-y2, 0≤y≤√R2-x2,0≤x≤R} ∫=asd,zh R dx (R2-x2-y2) R 16 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 10 2 2 2 2 , 0, 0, 0, . V zdV V x y z x y z R 计算 其中 为由 围成的区域 解 0 ,0 } {( , , )| 0 , 2 2 2 2 2 y R x x R V x y z z R x y 2 2 2 2 2 0 0 0 R x R x y V R zdV dx dy zdz 2 2 0 2 2 2 0 ( ) 2 1 R R x dx R x y dy . 4 16 1 R 例1