《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第十三章 能量原理在位移分析中的应用

组合M?T2M?变形2Zdx +dxdx+dx +2EA2EI2EI杆件：2GIp①小变形公式适用范围：线弹性范围1无刚体位移（约束反力不作功）

    = + + + L L z L P z y y L N dx G I T dx E I M dx E I M dx EA F V 2 2 2 2 2 2 2 2  ① 小变形， ② 线弹性范围， ③ 无刚体位移（约束反力不作功） 公式适用范围： 组合 变形 杆件：

S13-4互等定理一、功的互等定理Fp,在F引起的位移△i上作的功等于Fp在Fp引起的位移△i上作的功。数学表达式Fp ×△, = Fp, ×△A,+AjA+ni01

一、功的互等定理 数学表达式： Fpi  ij = Fpj   ji A F Pi 在 F Pj 引起的位移 ij 在 引起的 上作的功.  ji 上作的功等于 F Pj F Pi 位移 F Pii j ii  ji A i j F Pj ij  jj A F Pi i j F Pj ii ij  +  ji +  jj §13-4 互等定理

功的互等定理的证明先加Fpi:DH十PiAD:1111先加Fpj:+H由①式=②式得：Fpi ×A, = Fp, ×△

V FPiii 2 1  = V FPj jj 2 1  = 由①式= ②式得： 功的互等定理的证明： Fpi  ij = Fpj   ji A F Pj F Pi 先加FPi： F Pj A F Pi ii  ji  jj ij 先加FPj：  ji ii ij  jj — ① — ② i j i j + FPj jj + FPiij 2 1 + Fpiii + Fpj ji 2 1

二、位移互等定理Fpi ×A, = Fp, ×△若 Fp;= Fpj则A, =△jA, +Aii+i点处载荷在i点处引起的位移L等于i点处等大载荷在i点处引起的位移AAii三、适用范围P小变形条件下的线弹性问题A11J

二、位移互等定理 若 FPi = FPj 则 ij =  ji i点处载荷在j点处引起的位移 等于j点处等大载荷在i点处引 起的位移 三、适用范围 小变形条件下的线弹性问题 Fpi  ij = Fpj   ji ii ij  + ji  jj  + A F Pj F Pi i j A F Pii j ii  ji A i j F Pj ij  jj

S13-6虚功原理虚位移概念：虚位移结构在原有载荷作用下平衡再发生的位移称为虚位移。LP1P2满足边界条件满足连续性条件微小变形※可与载荷作用下的真实位移无关※可是载荷作用下的真实位移的增量※可是另一与之相关的系统载荷作用下的真实位移

一、 虚位移概念： §13—6 虚功原理 虚 位 移 满足边界条件 满足连续性条件 微小变形 ※ 可与载荷作用下的真实位移无关 ※ 可是载荷作用下的真实位移的增量 ※ 可是另一与之相关的系统载荷作用下的真实位移. 结构在原有载荷作用下平衡， 再发生的位移称为虚位移。 A F P2 F P1