ap[1-P(A)JP(AB)=P(AIP(B)-P(AB) P(AB)=P(A)P(B),故A与B独立。 5.设事件A与B相互独立,两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都 是,求P(A)和P(B) 解:∵P(AB)=P(AB)=,又∵:A与B独立 P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(AJP(B) P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)=A P(A)=P(B),P(A)-P2(A) 即P(A)=P(B)=-。 证明若P(A)>0,P(B)>0,则有 (1)当A与B独立时,A与B相容 (2)当A与B不相容时,A与B不独立 证明:P(A)>0,P(B)>0 (1)因为A与B独立,所以 P(AB)=P(A)P(B)>0,A与B相容 (2)因为P(AB)=0,而P(A)P(B)>0, P(AB)≠P(AP(B),A与B不独立 已知事件A,B,C相互独立,求证AUB与C也独立 证明:因为A、B、C相互独立, P[(∪B)∩C]=P(AC∪B P(AC)+ P(BC)-P(ABC) P(AP(C)+P(B)P(C)-P(AP(B)P(C) [P(A)+P(B)-P(AB)IP(C)= P(AUB)P(C) A∪B与C独立 8甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为07,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解: 令A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾, 那么P(A1)=0.7,P(A2)=0.8.P(A3)=0.9 令B表示最多有一台机床需要工人照顾
6 即 [1− P(A)]P(AB) = P(A)[P(B) − P(AB)] P(AB) = P(A)P(B) ，故 A 与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都 是 4 1 ，求 P(A) 和 P(B). 解： 4 1 P(AB) = P(AB) = ，又 A 与 B 独立 4 1 P(AB) = P(A)P(B) = [1− P(A)]P(B) = 4 1 P(AB) = P(A)P(B) = P(A)[1− P(B)] = 4 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 2 P A = P B P A − P A = 即 2 1 P(A) = P(B) = 。 6. 证明 若 P(A) >0， P(B) >0，则有 （1）当 A 与 B 独立时， A 与 B 相容； （2）当 A 与 B 不相容时， A 与 B 不独立。 证明： P(A) 0,P(B) 0 （1）因为 A 与 B 独立，所以 P(AB) = P(A)P(B) 0 ， A 与 B 相容。 （2）因为 P(AB) = 0 ，而 P(A)P(B) 0 ， P(AB) P(A)P(B)， A 与 B 不独立。 7. 已知事件 A, B,C 相互独立，求证 A B 与 C 也独立。 证明：因为 A 、 B 、C 相互独立， P[(A B) C] = P(AC BC) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P AB P C P A B P C P A P C P B P C P A P B P C P AC P BC P ABC = + − = = + − = + − A B 与 C 独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为 0.7，0.8 和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解： 令 1 2 3 A , A , A 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么 P(A1 ) = 0.7,P(A2 ) = 0.8,P(A3 ) = 0.9 令 B 表示最多有一台机床需要工人照顾
那么P(B)=P(A1A2A3+A1A2A13+A1A2A3+A1A2413) P(AA2A,)+P(A,A2 A3)+P(A, A)+P(A, A243) =0.7×0.8×0.9+0.3×0.8×0.9+0.7×0.2×0.8+0.7×0.8×0.1 =0.902 9.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0<p<1),(称为元件的可 靠性),假设各元件能否正常工作是相互独立的,计算下面各系统的可靠性 系统I n+1 n+2 系统Ⅱ 解:令A=“系统(Ⅰ)正常工作”B=“系统(Ⅱ)正常工作” A2=“第i个元件正常工作”,i=1,2,…,2n P(A1)=P,A1,A2,…A2n相互独立 那么 P(4)=P[A142…A1)+( A Pl(4141…A,)]+P[(A1A,n2…A2)」P(442…An) P(4)+∏P(4)-∏P(4) i=n+1 2Pn-P=P"(2-P") P(B)=P(A1+An1)42+An+2)×…×(An+A2n P(A, +Am-i) P(A)+P(A4i)-P(A)P(AA) 注:利用第7题的方法可以证 明(A1+A1+)与(41+A4+) i≠j时独立。 10.10张奖券中含有4张中奖的奖券,每人购买1张,求 (1)前三人中恰有一人中奖的概率 (2)第二人中奖的概率。 解:令A1=“第i个人中奖”,i=1,2,3 (1)P(A1A43+A1A43+A1A4243)
7 那么 ( ) ( ) P B = P A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 0.902 0.7 0.8 0.9 0.3 0.8 0.9 0.7 0.2 0.8 0.7 0.8 0.1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = = + + + = P A A A + P A A A + P A A A + P A A A 9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 p(0 p 1) ，（称为元件的可 靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。 解：令 A = “系统（Ⅰ）正常工作” B = “系统（Ⅱ）正常工作” Ai = “第 i 个元件正常工作”， i = 1,2, ,2n P Ai P A1 A2 A2n ( ) = , , , , 相互独立。 那么 ( ) ( ) ( ) P A = P A1A2 An + An+1An+2 A2n 2 (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 n n n n n i i n i n i n i i n n n n n P P P P P A P A P A P A A A P A A A P A A A = − = − = + − = + − = = + = + + ( ) [( )( ) ( )] P B = P A1 + An+1 A2 + An+2 An + A2n n n n i n i i n i i n i n i i n i P P P P P A P A P A P A P A A [2 ] (2 ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) 1 2 1 1 = − = − = + − = + = = + + = + 10. 10 张奖券中含有 4 张中奖的奖券，每人购买 1 张，求 （1）前三人中恰有一人中奖的概率； （2）第二人中奖的概率。 解：令 Ai = “第 i 个人中奖”， i = 1,2,3 (1) ( ) P A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 注：利用第 7 题的方法可以证 明 ( ) Ai + An+i 与 ( ) Aj + An+ j i j 时独立。 系统 I 1 2 n n+1 n+2 2n 系统 II 1 n+1 2 n+2 n 2n