第八章气体一维高速流动 前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，即使在较高的压强下 密度的变化也很微小，所以在一般情况下，可以把液体看成是不可压缩流体。对 于气体来说，可压缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该 气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。例如空气的速度等于 50m/s,这数值比常温20℃下空气中的声速343ms要小得多，这时空气密度的 相对变化仅百分之一。所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度 近似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。当气体流动的速度 或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体受到扰动，必然会引 起很大的压强变化，以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。气体动力学就是研 究可压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中仅主要讨论气 体动力学中一些最基本的知识。 第一节微弱扰动波的传播 一.微弱扰动波的一维传播 如图7-1所示，在一个截面积为A、足够长的直圆管中充满了静止的气体， 将圆管左端的活塞以微小速度ⅴ向右轻微地推动一下，使活塞右侧的气体压强 升高一个微小增量dp,dp所产生的微弱压强扰动向右传播。活塞将首先压缩紧 贴活塞的那一层气体，这层气体受压后，又传及下一层气体，这样依次一层一层 地传下去，就在圆管中形成一个不连续的微弱的压强突跃，就是压缩波m,它 以速度向右推进。压缩波面m是受活塞微小推移的影响而被扰动过的气体 与未被扰动过的静止气体的分界面。设在压缩波前未被扰动过的静止气体的压强 为p、密度为P、温度为T,波后己被扰动过的气体以与活塞的微小运动同样 的微小速度dv向右运动，其压强增高到p+dp,密度和温度也相应增加到p+d p和T+dT
第八章 气体一维高速流动 前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，即使在较高的压强下 密度的变化也很微小，所以在一般情况下，可以把液体看成是不可压缩流体。对 于气体来说，可压缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该 气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。例如空气的速度等于 50m/s，这数值比常温 20℃下空气中的声速 343m/s 要小得多，这时空气密度的 相对变化仅百分之一。所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度 近似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。当气体流动的速度 或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体受到扰动，必然会引 起很大的压强变化，以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。气体动力学就是研 究可压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中仅主要讨论气 体动力学中一些最基本的知识。 第一节 微弱扰动波的传播 一. 微弱扰动波的一维传播 如图 7-1 所示，在一个截面积为 A、足够长的直圆管中充满了静止的气体， 将圆管左端的活塞以微小速度 dv 向右轻微地推动一下，使活塞右侧的气体压强 升高一个微小增量 dp，dp 所产生的微弱压强扰动向右传播。活塞将首先压缩紧 贴活塞的那一层气体，这层气体受压后，又传及下一层气体，这样依次一层一层 地传下去，就在圆管中形成一个不连续的微弱的压强突跃，就是压缩波 mn，它 以速度 向右推进。压缩波面 mn 是受活塞微小推移的影响而被扰动过的气体 与未被扰动过的静止气体的分界面。设在压缩波前未被扰动过的静止气体的压强 为 p、密度为 ρ、温度为 T ，波后已被扰动过的气体以与活塞的微小运动同样 的微小速度 dv 向右运动，其压强增高到 p+dp，密度和温度也相应增加到 ρ+d ρ和 T+dT
c-dy 777777777 (6) 图7-1微弱扰动波的一维传播 显然，这是不定常流动。为了得到定常流动，可以设想观察者随波面n一起以 速度c向右运动。气体相对于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由c降 为cdv,而压强由p升高到p叶dp,密度和温度由p、T增加到p+dp、T+dT。 如图7-1b)所示，取包围压缩波的控制面，根据连续性条件，在dt时间内流入 和流出该控制面的气体质量应该相等，即 cpAdt =(c-dvp+dp)Adt 化简后，得 dv=cde p+dp (7-1) 由于压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可以忽略不计。于是对于控制面， 根据动量定理，沿气体流动的方向，质量为cPA的气体的动量变化率等于作 用在该气体上的压力之和，即 cpddr-(c-dv)-()=p+dp)-pl dr= (7-2)
图 7-1 微弱扰动波的一维传播 显然，这是不定常流动。为了得到定常流动，可以设想观察者随波面 mn 一起以 速度 c 向右运动。气体相对于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由 c 降 为 c-dv，而压强由 p 升高到 p+dp，密度和温度由 ρ、T 增加到 ρ+d ρ、T+dT。 如图 7-1(b)所示，取包围压缩波的控制面，根据连续性条件，在 dt 时间内流入 和流出该控制面的气体质量应该相等，即 化简后，得 （7-1） 由于压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可以忽略不计。于是对于控制面， 根据动量定理，沿气体流动的方向，质量为 的气体的动量变化率等于作 用在该气体上的压力之和，即 或 （7—2） cAdt = (c −dV)( + d)Adt d d d + = c V p p p A t c V c c A t [( d ) ] d [ ( d ) ( )] d = + − − − − − p c V d 1 d = c A
由式(7-1)和式(7-2)得 c2=1+dp）p p dp 由于是微弱扰动，dp远小于p,即 de 0 -V (7.3) 式(73)与物理学中计算声音在弹性介质中传播速度（即声速）的拉普拉斯公 式完全相同。可见气体中微弱扰动波的传播速度就是声速。 在式(7-3)的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气 体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质。不同介质的压缩性不同，压 缩性小的扰动波传播速度高，压缩性大的扰动波传播速度低，因此声速值反映了 流体可压缩性的大小。 式(7-3)是声速的通用表达式，要计算某种流体中具有的声速值，尚需确定 p和dp的关系，以求出光的恤。 由于微弱扰动波的传播过程进行得很迅速，与外界来不及进行热交换，而且 其中的压强、密度和温度变化极为微小，所以这个传播过程可以近似地认为是 个可逆的绝热过程，即等熵过程。假定气体是热力学中的完全气体，则根据等嫡 过程关系式plp=常数和完全气体状态方程p=pRT，可得 dp =y卫=RT dp p 代入式(73)，得 =R☑ c-yp (7-4) 对于空气.y=1.4，R=2871kg:K。 由式(7-4)可知，气体中的声速随气体的状态参数的变化而变化。于是在同 流场中，各点的状态参数若不同，则各点的声速也不同。所以声速指的是流场中 某一点在某一瞬时的声速，称为当地声速。 在实际计算中，通常用气体速度与当地声速，的比值来作为判断气体压缩 性对流动影响的一个标准，即@= (7-5) a
由式（7-1）和式（7-2）得 由于是微弱扰动， dρ 远小于 ρ ，即 ， （7-3） 式（7-3）与物理学中计算声音在弹性介质中传播速度（即声速）的拉普拉斯公 式完全相同。可见气体中微弱扰动波的传播速度就是声速。 在式（7-3）的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气 体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质。不同介质的压缩性不同，压 缩性小的扰动波传播速度高，压缩性大的扰动波传播速度低，因此声速值反映了 流体可压缩性的大小。 式(7-3)是声速的通用表达式，要计算某种流体中具有的声速值，尚需确定 dp 和 dρ 的关系，以求出 的值。 由于微弱扰动波的传播过程进行得很迅速，与外界来不及进行热交换，而且 其中的压强、密度和温度变化极为微小，所以这个传播过程可以近似地认为是一 个可逆的绝热过程，即等熵过程。假定气体是热力学中的完全气体，则根据等熵 过程关系式 =常数和完全气体状态方程 ，可得 代入式（7-3），得 （7-4） 对于空气， , R= 287 J/(kg·K)。 由式（7-4）可知，气体中的声速随气体的状态参数的变化而变化。于是在同一 流场中，各点的状态参数若不同，则各点的声速也不同。所以声速指的是流场中 某一点在某一瞬时的声速，称为当地声速。 在实际计算中，通常用气体速度 与当地声速 的比值 来作为判断气体压缩 性对流动影响的一个标准，即 （7-5） d dp c = d d d 1 2 p c = + 1 d d dp p p = RT RT p p = = d d RT p c = = =1.4 c V Ma =
M称为马赫数，是一个无量纲数，也是气体动力学中一个重要参数。 我们常根据马赫数的大小，把气流分为亚声速流1，跨声速流Ma≈1， 超声速流1K恤<3和高超声速流M恤>3等几类。亚声速流动和超声速流动有许 多显著的差别，我们将在以后各节中逐一介绍。 二微弱扰动波的空间传播 前面讨论了微弱扰动波的一维传播，下面进一步讨论微弱扰动波在空间流场 中的传播。 为了便于分析问题，假设流场中某点有一固定的扰动源，每隔1s发生一次 微弱扰动，现在分析前3s产生的微弱扰动波在空间的传播情况。由于不论流场 是静止的还是运动的，是亚声速的还是超声速的，都将对微弱扰动波在空间的传 播情况产生影响，所以下面分四种情况来讨论。 1.静止流场(V=0) 在静止流场中，扰动源产生的微弱扰动波以声速©向四周传播，形成以 扰动源所在位置为中心的同心球面波，微弱扰动波在3s末的传播情况如图7-2() 所示。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动必将 传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在静止气体中的传播是无界的。 2.亚声速流场(V<c) 在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s末的传播情况如图7-2b) 所示。由于扰动源本身以速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对速度 不再是当地声速©，而是这两个速度的矢量和。这样，球面扰动波在顺流和逆流 方向上的传播就不对称了。但是由于V<C,所以微弱扰动波仍能逆流传播，相对 气流传播的扰动波面是一串不同心的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程 中的损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波 在亚声速气流中的传播也是无界的
称为马赫数，是一个无量纲数，也是气体动力学中一个重要参数。 我们常根据马赫数的大小,把气流分为亚声速流 <1，跨声速流 ≈1， 超声速流 1< <3 和高超声速流 >3 等几类。亚声速流动和超声速流动有许 多显著的差别，我们将在以后各节中逐一介绍。 二 微弱扰动波的空间传播 前面讨论了微弱扰动波的一维传播，下面进一步讨论微弱扰动波在空间流场 中的传播。 为了便于分析问题，假设流场中某点有一固定的扰动源，每隔 1s 发生一次 微弱扰动，现在分析前 3s 产生的微弱扰动波在空间的传播情况。由于不论流场 是静止的还是运动的，是亚声速的还是超声速的，都将对微弱扰动波在空间的传 播情况产生影响，所以下面分四种情况来讨论。 1．静止流场(V=0) 在静止流场中，扰动源产生的微弱扰动波以声速 c 向四周传播，形成以 扰动源所在位置为中心的同心球面波，微弱扰动波在 3s 末的传播情况如图 7-2(a) 所示。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动必将 传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在静止气体中的传播是无界的。 2．亚声速流场(V<c) 在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在 3s 末的传播情况如图 7-2(b) 所示。由于扰动源本身以速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对速度 不再是当地声速 c，而是这两个速度的矢量和。这样，球面扰动波在顺流和逆流 方向上的传播就不对称了。但是由于 V<c，所以微弱扰动波仍能逆流传播，相对 气流传播的扰动波面是一串不同心的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程 中的损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波 在亚声速气流中的传播也是无界的。 Ma Ma Ma Ma Ma
使（线） (a) 图7-2微弱扰动波在静止气体中的传播 3.声速流场(v=c) 在声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s末的传播情况如图7-2(c)所 示。由图可见，由于V=℃，所以扰动波已不能逆流向上游传播，所有扰动波面是 与扰动源相切的一系列球面。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩大，但无 论它怎样扩大，也只能在扰动源所在的垂直平面的下游半空间内传播，永远不可 能传播到上游半空间。也就是说，微弱扰动波在声速气流中的传播是有界的 4.超声速流场(v>c) 在超声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s末的传播情况如图7-2() 所示。由图可见，由于v>℃，所以相对气流传播的扰动波不仅不能向上游传播， 反而被气流带向扰动源的下游，所有扰动波面是自扰动源点出发的圆锥面的一系 列内切球面，这个圆锥面就是马赫锥。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩 大，但也只能在马赫锥内传播，永远不会传播到马赫锥以外的空间。也就是说， 微弱扰动波在超声速气流中的传播也是有界的，界限就是马赫锥。 马赫锥的半项角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角，称为马赫角， 用0表示。由图7-2(@)可以容易地看出，马赫角0与马赫数恤之间的关
图 7-2 微弱扰动波在静止气体中的传播 3．声速流场（v=c） 在声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在 3s 末的传播情况如图 7-2(c)所 示。由图可见，由于 V=c，所以扰动波已不能逆流向上游传播，所有扰动波面是 与扰动源相切的一系列球面。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩大，但无 论它怎样扩大，也只能在扰动源所在的垂直平面的下游半空间内传播，永远不可 能传播到上游半空间。也就是说，微弱扰动波在声速气流中的传播是有界的. 4．超声速流场（v>c） 在超声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在 3s 末的传播情况如图 7-2(d) 所示。由图可见，由于 v>c，所以相对气流传播的扰动波不仅不能向上游传播， 反而被气流带向扰动源的下游，所有扰动波面是自扰动源点出发的圆锥面的一系 列内切球面，这个圆锥面就是马赫锥。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩 大，但也只能在马赫锥内传播，永远不会传播到马赫锥以外的空间。也就是说， 微弱扰动波在超声速气流中的传播也是有界的，界限就是马赫锥。 马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角，称为马赫角， 用 表示。由图 7-2(d)可以容易地看出，马赫角 与马赫数 Ma 之间的关