《工程流体力学与机械》课程教学资源（教案讲义）第六章 黏性流体的管内流动

第六章粘性流体的管内流动 在第三章中，通过对理想流体运动的基本规律的讨论，得到了流场中任一空 间点上、任一时刻流体微团的压强和速度等流动参数之间的关系式，但在推导流 体微团沿流线运动的伯努利方程中，仅局限于微元流束的范围内。而在工程实际 问题中要研究实际流体在整个流场中的运动，其中大量的是在管道和渠道中的流 动问题。所以除了必须把所讨论的范围从微元流束扩展到整个流场（如管道）外， 还需考虑黏性对流体运动的影响，实际流体都具有黏性，在流动过程中要产生摩 擦阻力，为了克服流动阻力以维持流动，流体中将有一部分机械能不可逆地损失 掉。由此可见，讨论黏性流体流动的重点就是讨论由于黏性在流动中所造成的阻 力问题，即讨论阻力的性质、产生阻力的原因和计算阻力的方法。 第一节黏性流体总流的伯努利方程 一、黏性流体微元流束的伯努利方程 在第三章中已经得到了理想不可压缩流体作定常流动时，质量力仅为重力情 况下的微元流束的伯努利方程，该式说明流体微团沿流线运动时总机械能不变。 但是对于黏性流体，在流动时为了克服由于黏性的存在所产生的阻力将损失掉部 分机械能，因而流体微团在流动过程中，其总机械能沿流动方向不断地减少。如 果黏性流体从截面1流向截面2，则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总 机械能。若以化表示单位重量流体自截面1到2的流动中所损失的机械能（又 称为水头损失)，则黏性流体微元流束的伯努利方程为 +B+ 2 +++ (6-1) pg 2g pg 2g 式(6-1)的几何解释如图6-1所示， 实际总水头线沿微元流束下降，而静 水头线则随流束的形状上升或下降。 水头 hwwommm 图61伯努利方程的几何解释

第六章 粘性流体的管内流动 在第三章中，通过对理想流体运动的基本规律的讨论，得到了流场中任一空 间点上、任一时刻流体微团的压强和速度等流动参数之间的关系式，但在推导流 体微团沿流线运动的伯努利方程中，仅局限于微元流束的范围内。而在工程实际 问题中要研究实际流体在整个流场中的运动，其中大量的是在管道和渠道中的流 动问题。所以除了必须把所讨论的范围从微元流束扩展到整个流场（如管道）外， 还需考虑黏性对流体运动的影响，实际流体都具有黏性，在流动过程中要产生摩 擦阻力，为了克服流动阻力以维持流动，流体中将有一部分机械能不可逆地损失 掉。由此可见，讨论黏性流体流动的重点就是讨论由于黏性在流动中所造成的阻 力问题，即讨论阻力的性质、产生阻力的原因和计算阻力的方法。 第一节 黏性流体总流的伯努利方程 一、黏性流体微元流束的伯努利方程 在第三章中已经得到了理想不可压缩流体作定常流动时，质量力仅为重力情 况下的微元流束的伯努利方程，该式说明流体微团沿流线运动时总机械能不变。 但是对于黏性流体，在流动时为了克服由于黏性的存在所产生的阻力将损失掉部 分机械能，因而流体微团在流动过程中，其总机械能沿流动方向不断地减少。如 果黏性流体从截面 1 流向截面 2，则截面 2 处的总机械能必定小于截面 1 处的总 机械能。若以 表示单位重量流体自截面 1 到 2 的流动中所损失的机械能（又 称为水头损失），则黏性流体微元流束的伯努利方程为 (6-1) 式（6-1）的几何解释如图 6-1 所示， 实际总水头线沿微元流束下降，而静 水头线则随流束的形状上升或下降。 图 6-1 伯努利方程的几何解释 w h g V g p z g V g p z + + = + + +  2 2 2 2 2 2 2 1 1 1   hW 

二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为有限值的总流流 动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点的位置高度Z、 压强P和流速V都可认为是相同的。而总流的同一有效截面上，流体质点的位 置高度Z、压强P和流速V是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。因此， 由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯努利方程，对总流有效截面进 行积分时，将遇到一定的困难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便 于积分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的三+卫=常数，这只有 在有效截面附近处有缓变流动时才能符合这个要求。 由于流线几乎是平行直线，则各有效截面上相应点的流速几乎不变，成为 均匀流，由于速度的变化很小即可将惯性力忽略不计，又由于流线的曲率半径很 大，故向心力加速度很小，以致可将离心力忽略。于是缓变流中的流体微团只受 重力和压强的作用，故缓变流的有效截面上各点的压强分布与静压强分布规律 样，即在同一有效截面上各点的：+卫=常数。当然在不同的有效截面上有不同 的常数值。 掌握了缓变流动的特性之后，就可以将黏性流体微元流束的伯努利方程应用 于总流，从而推导出适用于两个缓变流有效截面的黏性流体总流的伯努利方程。 以总流中每一微元流束的任意两个截面可以写出 则通过该微元流束的总能量在截面1与截面2之间的关系式为 积分上式，则得总流在有效截面1和有效截面2之间的总能量关系式 6是-+0}e (6-2) 若有效载面1和有效装面2处的流动都是缓变流动，则5+片=G和 +格=6，C1和C2是两个不得的据数：于是式(62》可写破

二、 黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为有限值的总流流 动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点的位置高度 Z 、 压强 P 和流速 V 都可认为是相同的。而总流的同一有效截面上，流体质点的位 置高度 Z、压强 P 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。因此， 由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯努利方程，对总流有效截面进 行积分时，将遇到一定的困难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便 于积分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 常数，这只有 在有效截面附近处有缓变流动时才能符合这个要求。 由于流线几乎是平行直线，则各有效截面上相应点的流速几乎不变，成为 均匀流，由于速度的变化很小即可将惯性力忽略不计，又由于流线的曲率半径很 大，故向心力加速度很小，以致可将离心力忽略。于是缓变流中的流体微团只受 重力和压强的作用，故缓变流的有效截面上各点的压强分布与静压强分布规律一 样，即在同一有效截面上各点的 常数。当然在不同的有效截面上有不同 的常数值。 掌握了缓变流动的特性之后，就可以将黏性流体微元流束的伯努利方程应用 于总流，从而推导出适用于两个缓变流有效截面的黏性流体总流的伯努利方程。 以总流中每一微元流束的任意两个截面可以写出 则通过该微元流束的总能量在截面 1 与截面 2 之间的关系式为 积分上式，则得总流在有效截面 1 和有效截面 2 之间的总能量关系式 （6-2） 若有效截面 1 和有效截面 2 处的流动都是缓变流动，则 和 ，C1 和 C2 是两个不同的常数，于是式（6-2）可写成 hw g V g p z g V g p z + + = + + +  2 2 2 2 2 2 2 1 1 1   V g qV hw g qV g V g p g q z g V g p z d d 2 d 2 2 2 2 2 2 1 1 1      +          = + +         + +    +          = + +         + + V V qV w V q V q V g q h g q g V g p g q z g V g p z d d 2 d 2 2 2 2 2 2 1 1 1      1 1 1 C g p z + =  2 2 2 C g p z + =  + = g p z  + = g p z 

（5+层s+5g-气+保s,+层+化s63 对于不可压缩流体，以∫Ps4,=Pg,通除式(6-3)各项得 (+异层气层+ (64) 用有效截面上的平均流速了代替真实流速y,则可将式(64)中总流的平均 单位重量流体的动能项改写为 (6-5) 式中α一总流的动能修正系数 -iu (6-6) 以h表示总流有效截面1和有效截面2之间的平均单位重量流体的能量损失， 即 (6-7) 将式(65)和式(6-7)代人式(64)中得： (6-8) 这就是黏性流体总流的伯努利方程。 适用范围是：重力作用下不可压缩黏性 静水头线 流体定常流动的任意两个缓变流的有效 截面，至于两个有效截面之间是否是缓 变流则无关系。由式(6-8)可以看出，如 A 同黏性流体沿微元流束的流动情况一 ZZZZ77 样，为了克服流动阻力，总流的总机械 图6-2总流总水头线 能即实际总水头线也是沿流线方向逐渐减少的，如图6-2所示

（6-3） 对于不可压缩流体，以 通除式（6-3）各项得 （6-4） 用有效截面上的平均流速 代替真实流速 ，则可将式（6-4）中总流的平均 单位重量流体的动能项改写为 （6-5） 式中 —总流的动能修正系数 （6-6） 以 表示总流有效截面 1 和有效截面 2 之间的平均单位重量流体的能量损失， 即 （6-7） 将式（6-5）和式（6-7）代人式（6-4）中得： （6-8） 这就是黏性流体总流的伯努利方程。 适用范围是：重力作用下不可压缩黏性 流体定常流动的任意两个缓变流的有效 截面，至于两个有效截面之间是否是缓 变流则无关系。由式(6-8)可以看出，如 同黏性流体沿微元流束的流动情况一 样，为了克服流动阻力，总流的总机械 图 6-2 总流总水头线 能即实际总水头线也是沿流线方向逐渐减少的，如图 6-2 所示。      + +          + = +         + V V V V qV w V q V q V q V q V g q h g q g V g q g p g q z g V g q g p z d d 2 d d 2 d 2 2 2 2 2 1 1 1         = qV gdqV gqV    + +          + = +         + V V qV w V q V V q V V V h q q q g V g q p q z g V g q p z d 1 d 2 1 d 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1       =      = = qV A A V V g V A g V V V A V A g V AV q g V q 2 d 2 1 d 2 1 d 2 1 2 2 3 2 2 2         = A A V V A d 1 3   hW  =  qV V V h q q h d 1 W W hw g V g p z g V g p z + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1     V V

动能修正系数α是由于截面上速度分布不均匀而引起的，它可按式 (6-6)根据有效截面上的速度分布规律而求得。α是个大于1的数，有效截面 上的流速越均匀，α值越趋近1。在实际工业管道中，通常都近似地取α=1.0。 以后如不加特别说明，都假定4=1，并以，代表平均流速。而对于圆管层流 流动a=2。 【例6-1】有一文丘里管如图6-3所示，若水银差压计的指示为360mmHg,并 设从截面A流到截面B的水头损失为0.2mH20,dA=300mm,dg=150mm, 试求此时通过文丘里管的流量是多少？ 图63文丘里管 【解】 以截面A为基准面列出截面A和B的伯努利方程 0+2+-076++经+h 82g %'2g 由此得 -=-+076+02 (a) P Pg 2g2g 由连续性方程 VAA =V84B 所以 会=侵 (b) 水银差压计1一1为等压面，则有 pA+(2+0.36)Pg=p%+(0.76+z)Pg+0.36PH8 由上式可得

动能修正系数 是由于截面上速度分布不均匀而引起的，它可按式 （6-6）根据有效截面上的速度分布规律而求得。 是个大于 1 的数，有效截面 上的流速越均匀， 值越趋近 1。在实际工业管道中，通常都近似地取 。 以后如不加特别说明，都假定 ，并以 代表平均流速。而对于圆管层流 流动 。 【例 6-1】 有一文丘里管如图 6-3 所示，若水银差压计的指示为 360mmHg，并 设从截面 A 流到截面 B 的水头损失为 0.2mH2O，dA =300mm，dB=150mm， 试求此时通过文丘里管的流量是多少? 图 6-3 文丘里管 【解】 以截面 A 为基准面列出截面 A 和 B 的伯努利方程 由此得 （a） 由连续性方程 所以 （b） 水银差压计 1—1 为等压面，则有 由上式可得   =1.0  =1  = 2 V w 2 B B 2 A A 2 0.76 2 0 h g V g p g V g p + + = + + +   0.76 0.2 2 2 2 A 2 A B B − = − + + g V g V g p g p   VA AA =VBAB 2 A B B A B A B         = = d d V A A V V pA +（z + 0.36）g = pB +（0.76 + z）g + 0.36 Hg g  

L-=0.76-036+036xs-040+0.36×133400-=53XmH,0）(c) P&P& 9806 将式(b)和式(c)代入(a)中 解得 2g(5.3-0.96) 2x9806x53-096-953（ms)） - - 9=.7d6=953×x0.152=0.168(m3s) 【例6-2】有一离心水泵装置如图6-4所示。已知该泵的输水量g=60m3h 吸水管内径d150mm,吸水管路的总水头损失h=0.5mH20,水泵入口2-2 处，真空表读数为450 nmHg,若吸水池的面积足够大，试求此时泵的吸水高度h 为多少？ 图64离心泵装置示意图 【解】选取吸水池液面一1和泵进口截面2一2这两个缓变流截面列伯努利方 程，并以1一1为基准面，则得 82g 因为吸水池面积足够大，故(=0。且 5-号6000i5-094(ms) 4×60

（c） 将式（b）和式（c）代入（a）中 解得 （m/s） （m3/s） 【例 6-2】 有一离心水泵装置如图 6-4 所示。已知该泵的输水量 m3/h， 吸水管内径 d= 150mm，吸水管路的总水头损失 mH2O，水泵入口 2—2 处，真空表读数为 450mmHg，若吸水池的面积足够大，试求此时泵的吸水高度 为多少? 图 6-4 离心泵装置示意图 【解】 选取吸水池液面 l—1 和泵进口截面 2—2 这两个缓变流截面列伯努利方 程，并以 1—1 为基准面，则得 因为吸水池面积足够大，故 。且 （m/s） 5.（3 mmH O） 9806 133400 0.40 0.36 g 0.76 0.36 0.36 2 A B Hg − = − +  = +  =     g g p g p 1 0.96 2 5.3 4 2 +                 = − A B B d d g V 9.53 300 150 1 2 9.806 (5.3 0.96) 1 2 (5.3 0.96) 4 4 A B B =               −   − =                 − − = d d g V 0.15 0.168 4 9.53 4 2 2 = B B =   =   qV V d qV = 60 hw = 0.5 g h w 2 2 2 2 a 1 2 2 0 h g V g p h g V g p + + = g + + +   V1 = 0 0.94 3600 3.14 0.15 4 4 60 2 2 2 =    = = d q V V 