第二章流体静力学 流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实 际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标 系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态：当流体相对于 非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等 于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用 的。 第一节流体静压强及其特性 在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力称为流体 的压强。当流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强，用符号表示， 单位为Pa。 流体静压强有两个基本特性， (1)流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。这 特性可由反证法给予证明： 假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线 方向成a角，如图21所示。 静压强 Pn 法向压强 0 切向压强 图2-1 那么静压强p可以分解成两个分力即切向压强pt和法向压强p。由于切向
第二章 流体静力学 流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实 际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标 系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于 非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等 于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用 的。 第一节 流体静压强及其特性 在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力称为流体 的压强。当流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强，用符号 p 表示， 单位为 Pa。 流体静压强有两个基本特性。 （1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。这一 特性可由反证法给予证明： 假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线 方向成α角，如图 2-1 所示。 那么静压强 p 可以分解成两个分力即切向压强 pt 和法向压强 pn。由于切向
压强是一个剪切力，由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作用都 将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保 持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法线方向的压强。 (2)静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上 各方向的流体静压强都相同。 为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任意一点A取一微元四面体的流 体微团ABCD,设直角坐标原点与A重合。微元四面体正交的三个边长分别为dx y和血，如图2-2所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在其上的力 是平衡的。 现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关系。由于静止流体中没 有切应力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压 强。因为所取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认为在无限小 表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、ABD、ABC和BCD四个面上的流 体静压强分别为px、py、pz和pn,pn与x、y、z轴的夹角分别为a、B、Y, 则作用在各面上流体的总压力分别为： PPy dalz
压强是一个剪切力，由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作用都 将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保 持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法线方向的压强。 （2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上 各方向的流体静压强都相同。 为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任意一点 A 取一微元四面体的流 体微团 ABCD，设直角坐标原点与 A 重合。微元四面体正交的三个边长分别为 dx， dy 和 dz，如图 2-2 所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在其上的力 是平衡的。 现在来分析作用于微元四面体 ABCD 上各力的平衡关系。由于静止流体中没 有切应力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压 强。因为所取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认为在无限小 表面上的压强是均匀分布的。设作用在 ACD、 ABD、ABC 和 BCD 四个面上的流 体静压强分别为 px、py、pz 和 pn，pn 与 x、y、z 轴的夹角分别为α、β、γ， 则作用在各面上流体的总压力分别为： y z x p x P d d 2 1 = x z y p y P d d 2 1 =
作用在ACD面上 作用在ABC面上 的流体静压强 的流体静压强 Px 作用在BCD面 p 上的静压强 一x 作用在ABD和 上的静压 Py 强 图2一2微元四面体受力分析 20124/11 U fapdady Pn =PndAn (dAn为BCD的面积) 除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量力，该质量力分布在流 体微团全部体积中。设流体微团的平均密度为·，而微元四面体的体积为 dV=dxdydz/6,则微元四面体流体微团的质量为dm=dxdydz/6。假定作用在流流 体上的单位质量力为f,它在各坐标轴上的分量分别为仪、y、包，则作用在微元 四面体上的总质量力为：F=6 pladydz 它在三个坐标轴上的分量为： 6 pixdydzt 6 pddzr r= 由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投
（dAn 为 BCD 的面积） 除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量力，该质量力分布在流 体微团全部体积中。设流体微团的平均密度为ρ，而微元四面体的体积为 dV=dxdydz/6，则微元四面体流体微团的质量为 dm=ρdxdydz/6。假定作用在流流 体上的单位质量力为 ,它在各坐标轴上的分量分别为 fx、fy、fz，则作用在微元 四面体上的总质量力为： 它在三个坐标轴上的分量为: 由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投 x y z p z P d d 2 1 = P n = p n dAn f W x y zf d d d 6 1 = W x dxdydzf x 6 1 = W y dxdydzf y 6 1 = W z dxdydzf z 6 1 =
影的总和等于零。对于直角坐标系，则： ∑P=0∑P=0 ∑P=0 在轴方向上力的平衡方程为： P.-P cos a+W=0 把pX,pn和Wx的各式代入得： n,dnz-pd4eosa+言dd=0 因为dM,cosa=2ddz 则上式变成 nidz-n,dz+后adta=0 1 或 P:-P.+3 pfdx =0 由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得： P=Pn 同理可得 &B 所以Px=P,=P2=Pn (2-1) 因为的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各 个方向的流体静压强都相等。但是，静止流体中深度不同的点处流体的静压强是 不一样的，而流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数 即p=p(x,y,z)
影的总和等于零。对于直角坐标系，则： 在轴方向上力的平衡方程为： 把 px,pn 和 Wx 的各式代入得： 因为 则上式变成 或 由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得： 同理可得 所以 （2-1） 因为 n 的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各 个方向的流体静压强都相等。但是，静止流体中深度不同的点处流体的静压强是 不一样的，而流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数， 即 P x = 0 P y = 0 P z = 0 P x − Pn cos + W x = 0 d d d 0 6 1 d d d cos 2 1 p x y z − p n An + x y zf x = An dydz 2 1 d cos = d d d 0 6 1 d d 2 1 d d 2 1 p x y z − p n y z + x y zf x = d 0 3 1 p x − p n + f x x = p x = p n p y = p n p z = p n p x = p y = p z = p n p = p(x,y ,z)
第二节流体平衡微分方程 一、流体平衡微分方程式 在静止流体中任取一边长为x,y和d血的微元平行六面体的流体微团， 如图2-3所示。现在来分析作用在这流体微团上外力的平衡条件。由上节所述流 体静压强的特性知，作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行六 面体中心点处的静压强为P,则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒 (G.l,Taylor)级数展开，例如：在垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压 强分别为： p+ drdd 2x dz 图23微元平行六面体x方向的受力分析 -些+侣(+ 略去二阶以上无穷小量后，分别等于 on dx dx1p(dx +6ax(2 和由于平行六面体是微元的，所以可以把各微元面上中心点的压强视为平 均压强。因此，垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为： p+2ax
第二节 流体平衡微分方程 一、流体平衡微分方程式 在静止流体中任取一边长为 dx，dy 和 dz 的微元平行六面体的流体微团， 如图 2-3 所示。现在来分析作用在这流体微团上外力的平衡条件。由上节所述流 体静压强的特性知，作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行六 面体中心点处的静压强为 p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒 （G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于 X 轴的左、右两个平面中心点上的静压 强分别为： 略去二阶以上无穷小量后，分别等于 和 和由于平行六面体是微元的，所以可以把各微元面上中心点的压强视为平 均压强。因此，垂直于 x 轴的左、右两微元面上的总压力分别为： x y z x p p d d d 2 1 + x y z x p p d d d 2 1 + + − + − 3 3 3 2 2 2 2 d 6 1 2 d 2 1 2 d x x x p x x p x p p + + + + 3 3 3 2 2 2 2 d 6 1 2 d 2 1 2 d x x x p x x p x p p