第四章旋涡理论和势流理论 流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中 的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种 类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度=·的流动， 无旋流动是指=0的流动。 实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式 出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的 龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的， 如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都 有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动， 更是充满着尺度不同的大小旋涡。 流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处 理上简单得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成热。对工程中的某 些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究 其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。 因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理 论。 第一节流体微团运动分析 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于 它具有流动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样 可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动 可以分解为移动、转动和变形运动三部分。 一、表示流体微团运动特征的速度表达式 在流体运动中，在时刻t任取一正六面体流体微团，其边长分别为dx、dy dz,如图41所示。当选取流体微团上的Fx,y,Z)点为参考点时，则该点的速 度分量分别为μ(x,y,z)、V(x,y,z)、W(x,y,z),其他各点的速度均可 用泰勒级数展开并略去二阶及以上无穷小量得到。因此C(x+dx,y+dy,z+dz)点
第四章 旋涡理论和势流理论 流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中 的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种 类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度 的流动， 无旋流动是指 的流动。 实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式 出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的 龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的， 如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都 有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动， 更是充满着尺度不同的大小旋涡。 流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处 理上简单 得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某 些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究 其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。 因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理 论。 第一节 流体微团运动分析 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于 它具有流 动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样 可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动 可以分解为移动、转动和变形运动三部分。 一、表示流体微团运动特征的速度表达式 在流体运动中，在时刻 t 任取一正六面体流体微团，其边长分别为 dx、dy、 dz，如图 4-1 所示。当选取流体微团上的 F(x，y，z)点为参考点时，则该点的速 度分量分别为μ（x，y，z）、v（x，y，z）、w（x，y，z），其他各点的速度均可 用泰勒级数展开并略去二阶及以上无穷小量得到。因此 C(x+dx，y+dy，z+dz)点
的速度分量可表示为 =v+会4r++ u+dy+能d .u de u dy Dir de y dy de +0d虹 G d里 u+驶+8装d y +8d 图4-1分析流体微团运动用图 为了把流体微团的速度进行分解，并且以数学的形式表达出来，现将上式进 行改造。重新整理后可得到 “=+0+e+倍}+g会 +食g会g +等+告 引入记号，并赋予运动特征名称： 线变形速率
的速度分量可表示为 图 4-1 分析流体微团运动用图 为了把流体微团的速度进行分解，并且以数学的形式表达出来，现将上式进 行改造。重新整理后可得到 引入记号，并赋予运动特征名称： 线变形速率
(4-1) 剪切变形速率 ou En=8x= 2 16w Ex =Ew= 2 (4-2) 8w x=a= 1u 28z 旋转角速度 1 2 1 2 x 于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为 u。=u+E✉dt+endy+Edz+o,dz-o,dy v。=v+Endy+E.dr+endz+o,dr-o,d也 w.=w+8dz+8dx+dy+o,dy-o,dx (4-4) 式(4-4)表明，在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：①以流体 微团中某点的速度作整体平移运动(“、ⅴ、。)：②绕通过该点轴的旋转运动 (0x、oy、oz):③微团本身的变形运动（线变形exx、￡yy、￡z2和剪切 变形ex灯e yze zx)。 (4-3) 二、流体微团运动的分解
剪切变形速率 旋转角速度 于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为 （4-4） 式（4-4）表明，在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：①以流体 微团中某点的速度作整体平移运动（μ、ν、ω）；②绕通过该点轴的旋转运动 （ωx、ωy、ωz）；③微团本身的变形运动（线变形εxx、εyy、εzz 和剪切 变形εxyεyzεzx）。 二、流体微团运动的分解 （4-3）
为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征，对式(4-4)有较深刻的理 解，现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变形运动、角 变形运动和旋转运动。 为简化分析，仅讨论在xoy平面上流体微团的运动。假设在时刻t,流体微 团ABCD为矩形，其上各点的速度分量如图4-2所示。由于微团上各点的速度不 同，经过时间d:,势必发生不同的运动，微团的位置和形状都将发生变化， 现分析如下： 1.平移运动 由图4-2可知，微团上A、B、C、D各点的速度分量中均有u和v两项，经过 d:时间后，矩形微团ABCD向右、向上分别移动μd,vd距离，即平移到新位 置，形状不变，如图4-3(a)所示。式(4-4)中的第一项即为该流体微团平移 运动的运动速度。 .密红部 虹刘 图4-2分析流体微团平面运动用图 2、线变形运动 在图4-2中，比较B与A、C与点D在X方向及D与A、C与B点在y方向的 速度差可得4%=器在收-器，=器=器少，由 北可知，流体线段花和反在4时铜内将伸长（政缩如）融，同样，西
为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征，对式(4-4)有较深刻的理 解，现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变形运动、角 变形运动和旋转运动。 为简化分析，仅讨论在 xoy 平面上流体微团的运动。假设在时刻 t，流体微 团 ABCD 为矩形，其上各点的速度分量如图 4-2 所示。由于微团上各点的速度不 同，经过时间 dt ，势必发生不同的运动，微团的位置和形状都将发生变化， 现分析如下： 1.平移运动 由图 4-2 可知，微团上 A、B、C、D 各点的速度分量中均有μ和ν两项，经过 dt时间后，矩形微团 ABCD 向右、向上分别移动μdt νdt 距离，即平移到新位 置，形状不变，如图 4-3（a）所示。式（4-4）中的第一项即为该流体微团平移 运动的运动速度。 图 4-2 分析流体微团平面运动用图 2、线变形运动 在图 4-2 中，比较 B 与 A、C 与点 D 在 X 方向及 D 与 A、C 与 B 点在 y 方向的 速度差可得 dy y dy y dx x dx x B A C D D A C B − = − = − = − = , ; , 。由 此可知，流体线段 AB 和 DC 在 dt时间内将伸长（或缩短） dxdt x ，同样， AB
和反镜段将种长（线笔阅》如， 定义单位时间内单位长度流体线段的伸长（或缩短）量为流体微团的线变形 速率，则沿x轴方向的线变形速率为 器hkK)=婴-n 同理可得流体微团沿y轴方向和沿z轴方向的线变形速率分别为 上述即为式(4-1)及其物理意义。式(4-4)中的第二项所表示的便是该线形变 形运动所引起的速度变化。 将x、y、z方向的线变形速率加在一起，有 5+6,*6器+g程 (4-5) 对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团 在运动中体积不变。而三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积 在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀率。因此，不可压缩流体的连 续性方程也是流体不可压缩的条件。在图4-3(6)中示出了该流体微团的平面线 变形
和 BC 线段将伸长（或缩短） dydt y 。 定义单位时间内单位长度流体线段的伸长（或缩短）量为流体微团的线变形 速率，则沿 x 轴方向的线变形速率为 x xx dxdt dxdt x = = /( ) 同理可得流体微团沿 y 轴方向和沿 z 轴方向的线变形速率分别为 y z xx yy = = , 上述即为式（4-1）及其物理意义。式（4-4）中的第二项所表示的便是该线形变 形运动所引起的速度变化。 将 x、y、z 方向的线变形速率加在一起，有 x y z xx yy zz + + + + = （4-5） 对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团 在运动中体积不变。而三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积 在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀率。因此，不可压缩流体的连 续性方程也是流体不可压缩的条件。在图 4-3(b)中示出了该流体微团的平面线 变形