第三章流体力学基础 流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律， 而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力 之间的关系。本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导出流体动 力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是 分析流体流动问题的基础。 第一节描述流体运动的两种方法 连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的 连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间 称为流场。由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量（如速度、加速 度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。根据着眼点的不同，流体力学中 研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日(Lagrange)方法，另一种 是欧拉(Euler)方法。 拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质着手来研究整个流体 运动的。这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流 体质点的位置可表示为： X=x (a,b,c,t) y=y (a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)(3-1) 式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、b、c代表不同 的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量，则得到 流体质点的运动规律。对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得 到某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉格朗日变量，它不是 空间坐标的函数，而是流体质点标号。 将式(3-1)对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度 为： =ua.b.c.t)
第三章 流体力学基础 流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律， 而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力 之间的关系。本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导出流体动 力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是 分析流体流动问题的基础。 第一节 描述流体运动的两种方法 连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的 连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间 称为流场。由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如速度、加速 度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。根据着眼点的不同，流体力学中 研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种 是欧拉（Euler）方法。 拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质着手来研究整个流体 运动的。这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流 体质点的位置可表示为： X=x (a，b，c，t) y=y (a，b，c，t) z=z (a, b, c, t)(3-1) 式中 a、b、c 为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的 a、b、c 代表不同 的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、b、c 为常数，而 t 为变量，则得到 流体质点的运动规律。对于某个确定的时刻，t 为常数，而 a、b、c 为变量，得 到某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称 a、b、c 为拉格朗日变量，它不是 空间坐标的函数，而是流体质点标号。 将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度 为： u(a,b,c,t) t x u = =
a.b.c.) (3-2) (3-3) 同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、的函数，即p=p(a, b,c,),P=P(a,b,c,),t=t(a,b,c,)。 欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动 着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数 随时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标(x,y,z)和时间t的 函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和密度可表示为： u=u (x,y,z,t) v=v (x,y,z.t) (3-4 w=w (x,y,z,t) 式中，v,w分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量： =i+y可+wk P=p (x,y,z,t) P=p (x,y,z,t) (3-5) 式(3-4)中，当参数x,y,z不变而改变时间t,则表示空间某固 定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变，而改变x,y,z,则代表 某一时刻，空间各点的速度分布。 x,y,z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代 表流体质点在空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有 流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有 速度必然产生位移。也就是说，空间坐标x,y,z也是流体质点位移的变 量，它也是时间t的函数： x=x (t)y=y (t)z=z (t) (3-6)
（3-2） （3-3） 同样，流体的密度、压强和温度也可写成 a、b、c、的函数，即ρ= ρ （a， b，c，），P=P (a，b，c，)，t=t (a，b，c，)。 欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动 着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数 随时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间 t 的 函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和密度可表示为： u=u (x，y，z，t) v=v (x, y, z, t) (3-4) w=w (x, y, z, t) 式中，u，v，w 分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量： P=p (x，y，z，t) Ρ=ρ（x，y，z，t) (3-5) 式（3-4）中，当参数 x，y，z 不变而改变时间 t，则表示空间某固 定点的速度随时间的变化规律。当参数 t 不变，而改变 x，y，z，则代表 某一时刻，空间各点的速度分布。 x，y，z 有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代 表流体质点在空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有 流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有 速度必然产生位移。也就是说，空间坐标 x，y，z 也是流体质点位移的变 量，它也是时间 t 的函数： x= x (t) y= y (t) z= z (t) (3-6) v(a,b, c,t) t y v = = w(a,b,c,t) t z w = = ( , , , ) 2 2 a a b c t t x t u ax = x = = ( , , , ) 2 2 a a b c t t y t v ay = y = = ( , , , ) 2 2 a a b c t t z t w az = z = = V ui vj wk = + +
式(3-6)是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间求导就可得流体质点 沿运动轨迹的三个速度分量 出 (3-7) 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在t时刻内，流体 质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合 函数的求导法则，分别将式(3-4)中三个速度分量对时间取全导数，并将式(3-7) 代入，即可得流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量 。容会暗陪 (3-8) 用矢量表示加速度，即a=a,i+a,j+a,k根据矢量分析的点积公式 司+.p (3-9) 式中-会++2是矢微分算子 由式(3-8)可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成：第一 部分是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加 速度，即式(3-8)中等式右端的第一项0、血、：第二部分是某一瞬 时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加速度，即式(3-8)中等式右 端的后三项“、，、等：当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。 为了加深对当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速度的物理意 义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面2 比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流 到2点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某 一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流 体质点的速
式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间求导就可得流体质点 沿运动轨迹的三个速度分量 (3-7) 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在 dt 时刻内，流体 质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合 函数的求导法则，分别将式（3-4）中三个速度分量对时间取全导数，并将式（3-7） 代入，即可得流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量 (3-8) 用矢量 表示加速度，即 根据矢量分析的点积公式 (3-9) 式中 是矢量微分算子。 由式（3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成；第一 部分是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加 速度，即式（3-8）中等式右端的第一项 、 、 ；第二部分是某一瞬 时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加速度，即式（3-8）中等式右 端的后三项 、 、 等；当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。 为了加深对当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速度的物理意 义。如图 3-1 所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2 比截面 1 小，则截面 2 的速度就要比截面 1 的速度大。所以当流体质点从 1 点流 到 2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某 一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流 体质点的速 t x u d d = t v d dy = t w d dz = z w w y w v x w u t w a z v w y v v x v u t v a z u w y u v x u u t u a z y x + + + = + + + = + + + = a a a i a j a k x y z = + + V V t V a + ( •) = k z j y i x + + = t u t v t w x u u y u v z u w
/1/ 777 77 7 777777 图3-1中间有收缩形的变截面管道内的流动 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。 应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，空间点指固定在流 场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点正好流过 此空间点时的速度。用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式 3-9)的形式，即D).)+() Dt Ot (3-10) 式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强，可以 是标量，电可以是天量，以称为全导数士称为当谁导范。X)称为 迁移导数 由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其 原因有三。一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二 是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的 运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方 程比二阶偏微分方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去 脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法 在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便的。 【例3-1】已知用拉格朗日变量表示得速度分布为u=(a+2)et-2, v=(6+2)et-2,且t=0时，x=a,y=b。求(1)t=3时质点分布：(2)a=2,b=2 质点的运动规律：(3)质点加速度。 【解】根据(3-2)式得 =(a+2e'-2 Ox
图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。 应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，空间点指固定在流 场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点正好流过 此空间点时的速度。用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式 (3-9)的形式，即 式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强，可以 是标量，也可以是矢量。 称为全导数 称为当地导数， 称为 迁移导数 由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其 原因有三。一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二 是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的 运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方 程比二阶偏微分方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去 脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法 在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便的。 【例 3-1 】 已知 用 拉格 朗日 变 量表 示 得速 度分 布 为 u=(a+2)et-2 ， v=(b+2)et-2，且 t=0 时，x=a， y=b。求（1）t=3 时质点分布；（2）a=2，b=2 质点的运动规律；（3）质点加速度。 【解】根据（3-2）式得 = ( + 2) − 2 t a e t x ( )( ) ( ) D D( ) + • = V t t Dt D( ) t ( ) (V •)( ) (3-10)
将上式积分，得 x=(a+2)e'-2t+c y=(b+2)e-21+c2 上式中cl、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用t=0时，x=a,y=b 得c1=-2,c2=-2 X=(a+2)et-2t-2 y=(6+2)et-2t-2 (1)将t=3代入上式得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 (2)a=2,b=2时 x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 3)0-(a+2e -6+2 【例3-2】在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2,其迹线为双曲线xy=25。质 点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？ 【解】据式（3-7)得告-名6)=0 盘)盘 d山dx 由式(3-8)得 a-10 a,2 0v_30 a=o
将上式积分，得 上式中 c1、c2 为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用 t=0 时，x=a，y=b 得 c1=-2， c2=-2 X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）将 t=3 代入上式得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2 时 x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3) 【例 3-2】在任意时刻，流体质点的位置是 x=5t2，其迹线为双曲线 xy=25。质 点速度和加速度在 x 和 y 方向的分量为多少？ 【解】根据式（3-7）得 由式（3-8）得 = ( + 2) − 2 t b e t y 2 1 x (a 2)e t c t = + − + 2 2 y (b 2)e t c t = + − + t a e t u = ( + 2) t b e t v = ( + 2) t t t t x u (5 ) 10 d d d d 2 = = = t x t t x x v d 1 d 25 25 d d d dy 2 = − = = 2 2 3 10 10 (5 ) 1 25 t t t = − = − =10 = t u ax 4 30 t t v ay = =