《工程流体力学与机械》课程教学资源（教案讲义）第五章 相似原理及量纲分析

第五章相似原理及量纲分析 流体力学问题的解决不外乎用理论或实验两种方法。在理论方法中，主导待 求问题的控制方程是必须的。但对于许多复杂的现象，特别是对于原本就不清楚 的未知现象往往是不可能的。这就必须依靠实验方法。在实际过程中任何一个 物理现象往往有许多影响因素，要研究每一个因素对这一现象的影响，需要进行 大量的实验，有时简直是不可能的。因此需要一种简单的方法使得只进行少量的 实验就可达到对流动现象的本质认识本章介绍的相似原理及量纲分析就是指导 实验的理论基础 5.1相似原理 5.1.1相似概念 直接实验方法有很大的局限性，其实验结果只适用于某些特定条件，并不具 有普遍意义，因而即使花费巨大，也难能揭示现象的物理本质，并描述其中各量 之间的规律性关系。并且还有许多流动现象不宜进行直接实验。所以实际中常用 模型做实验。但要使从模型实验中得到的精确的定量数据能够准确代表对应原型 的流动现象，就必须在模型和原型之间满足以下的相似性。 相似是指组成模型的每个要素必须与原型的对应要素相似，包括几何要素和 物理要素，其具体体现为由一系列物理量组成的场对应相似。对于同一个物理过 程，若两个物理现象的各个物理量在各对应点上以及各对应瞬间大小成比例，且 各矢量的对应方向一致，则称这两个物理现象相似。在流动现象中若两种流动相 似，一般应满足： (1)几何相似 几何相似是指模型与其原型形状相同，但尺寸可以不同，而一切对应的线性 尺寸成比例，这里的线性尺寸可以是直径、长度及粗糙度等。如用下标p和m 分别代表原型和模型，则 线性比例常数G,=2 面积比例常数C,4=名 才C

第五章 相似原理及量纲分析 流体力学问题的解决不外乎用理论或实验两种方法。在理论方法中，主导待 求问题的控制方程是必须的。但对于许多复杂的现象，特别是对于原本就不清楚 的未知现象往往是不可能的。这就必须依靠实验方法 。在实际过程中任何一个 物理现象往往有许多影响因素，要研究每一个因素对这一现象的影响，需要进行 大量的实验，有时简直是不可能的。因此需要一种简单的方法使得只进行少量的 实验就可达到对流动现象的本质认识.本章介绍的相似原理及量纲分析就是指导 实验的理论基础。 5.1 相似原理 5.1.1 相似概念 直接实验方法有很大的局限性，其实验结果只适用于某些特定条件，并不具 有普遍意义，因而即使花费巨大，也难能揭示现象的物理本质，并描述其中各量 之间的规律性关系。并且还有许多流动现象不宜进行直接实验。所以实际中常用 模型做实验。但要使从模型实验中得到的精确的定量数据能够准确代表对应原型 的流动现象，就必须在模型和原型之间满足以下的相似性。 相似是指组成模型的每个要素必须与原型的对应要素相似，包括几何要素和 物理要素，其具体体现为由一系列物理量组成的场对应相似。对于同一个物理过 程，若两个物理现象的各个物理量在各对应点上以及各对应瞬间大小成比例，且 各矢量的对应方向一致，则称这两个物理现象相似。在流动现象中若两种流动相 似，一般应满足： （1） 几何相似 几何相似是指模型与其原型形状相同，但尺寸可以不同，而一切对应的线性 尺寸成比例，这里的线性尺寸可以是直径、长度及粗糙度等。如用下标 p 和 m 分别代表原型和模型，则 线性比例常数 p l m L C L = 面积比例常数 2 2 2 p p A l m m A L C C A L = = =

林州数G片名- (2)运动相似 运动相似是指对不同的流动现象，在流场中的所有对应点处对应的速度和加速度 的方向一致，且比值相等，也就是说，两个运动相似的流动，其流线和流谱是几 何相似的。 速安比例常数C一号 由于时间的量纲是，因此时间比例常数为C=上=，化=S t L /V Cy 就道数批州友C受瓷-号号 (3)动力相似 动力相似即对不同的流动现象，作用在流体上相应位置处的各种力，如重力、 压力、粘性力和弹性力等，它们的方向对应相同，且大小的比值相等，也就是说， 两个动力相似的流动， 作用在流体上相应位置处各力组成的力多边形是几何相似的。 一般地说，作用在流体微元上的力有重力、压力、粘性力、弹性力和表面张力。 如果流体是作加（减）速运动，则加上惯性力后，上述各力就会组成一个力多边 形，因此，F+F。+F+F+F+F=0 或者E=(F。+F+F+F+F)=-∑F 这些力可以简单表示为： 重力：F=mg=pLg 压力：F。=(p)A=(p)L 然性力：斥=学4=吃C=n 弹性力：F=E,A=E

体积比例常数 3 3 3 p p V l m m V L C C V L = = = （2） 运动相似 运动相似是指对不同的流动现象，在流场中的所有对应点处对应的速度和加速度 的方向一致，且比值相等，也就是说，两个运动相似的流动，其流线和流谱是几 何相似的。 速度比例常数 p V m V C V = 由于时间的量纲是，因此时间比例常数为 / / p p p l t m m m V t L V C C t L V C = = = 由此加速度比例常数 2 / / p p p V V a m m m t l a V t C C C a V t C C = = = = （3） 动力相似 动力相似即对不同的流动现象，作用在流体上相应位置处的各种力，如重力、 压力、粘性力和弹性力等，它们的方向对应相同，且大小的比值相等，也就是说， 两个动力相似的流动， 作用在流体上相应位置处各力组成的力多边形是几何相似的。 一般地说，作用在流体微元上的力有重力、压力、粘性力、弹性力和表面张力。 如果流体是作加（减）速运动，则加上惯性力后，上述各力就会组成一个力多边 形，因此， 0 F F F F F F G p V E T I + + + + + = 或者 ( ) F F F F F F F I G p V E T = − + + + + = − 这些力可以简单表示为： 重力： 3 F mg L g G = =  压力： 2 ( ) ( ) F p A p L p =  =  粘性力： 2 ( ) ( ) V du V F A L VL dy L =  =  =  弹性力： 2 F E A E L E v v = =

大为反第性银品且医=p务，百票。，这品：是声意，代入上试 ap 因此有F=E.P=pLPc 表面张力：F=oL 惯性力：F=ma=p点=pLT2=pPE 在许多实际问题中，上述各力并非同等重要，有时有些力可能不存在或者小 得可以忽略不计，例如F和F,见图51。如果在满足几何相似及运动相 似的两个流动现象中，并且受有同样的力，于是，如果这些力满足以下条件，则 说两个现象是动力相似的。 (at 5.1(a)原型 5.1(b)模型 图5.1满足几何相似、运动相似和动力相似的流动 这里a,和a。分别代表切向和法向加速度，而下标p和m依然代表 原型和模型。同样，用。、。、斤分别去除惯性力，我们也可以将其 表示成下列关系： 从这4个力我们得到了3个无量纲量，它们必须满足3个独立的关系式：同理

式中为 E v 弹性模量，且 v dp E d =   ，而 dp 2 c d =  ，这里 c 是声速，代入上式， 因此有 2 2 2 F E L L c E v = =  表面张力： F L T = 惯性力： 3 4 2 2 2 I 2 L F ma L L T V L T − = =  =  =  在许多实际问题中，上述各力并非同等重要，有时有些力可能不存在或者小 得可以忽略不计，例如 FE 和 FT ，见图 5.1。如果在满足几何相似及运动相 似的两个流动现象中，并且受有同样的力，于是，如果这些力满足以下条件，则 说两个现象是动力相似的。 Im p p p p m m m G P V I F G P V F F F F C F F F F = = = = = 5.1（a）原型 5.1 (b)模型 图 5.1 满足几何相似、运动相似和动力相似的流动 这里 t a 和 n a 分别代表切向和法向加速度，而下标 p 和 m 依然代表 原型和模型。同样，用 FG 、 F p 、 FV 分别去除惯性力 FI ，我们也可以将其 表示成下列关系： ( ) ( ) ,( ) ( ) ,( ) ( ) I I I I I I p m p m p m G G p p V V F F F F F F F F F F F F = = = 从这 4 个力我们得到了 3 个无量纲量，它们必须满足 3 个独立的关系式；同理

从3个力我们可以得到2个无量纲量，同时必须满足2个独立的关系式。 满足以上三种相似条件时，两个流动现象（或流场）在力学上就是相似的。 这三种相似条件中，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是 则是流动相似的主导因素，而运动相似只是几何相似和动力相似的表征：三者密 切相关，缺一不可。 8 5.1.2相似原理 理论上，任意一个流动由控制该流动的基本微分方程和相应的定解条件唯 确定。两个相似的流动现象，为了保证它们遵循相同的客观规律，其微分方程就 应该相同，这是同类流动的通解；此外，要求得某一具体流动的特解，还要求其 单值条件也必须相似。这些单值性条件包括： (1)初始条件，指非定常流动问题中开始时刻的流速、压力等物理量的分布： 对于定常流动不需要这一条件。 (2)边界条件，指所研究系统的边界上（如进口、出口及壁面处等）的流速、 压力等物理量的分布。 (3)几何条件，指系统表面的几何形状、位置及表面粗糙度等。 (4)物理条件，指系统内流体的种类及物性，如密度、粘性等。 因此，如果两个流动相似，则作为单值性条件相似，作用在这两个系统上的 惯性力与其它各力的比例应对应相等。在流体力学问题中，若存在上述所有这六 种力，而且满足动力相似，则必须使下列各力间的比例对应相等。 惯性力与压力（或压差）之比： 专器-5s 惯性力与重力之比： 危程发so 惯性力与摩擦力之比： 互-pPY-L.L(5.10) μ

从 3 个力我们可以得到 2 个无量纲量，同时必须满足 2 个独立的关系式。 满足以上三种相似条件时，两个流动现象（或流场）在力学上就是相似的。 这三种相似条件中，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是 则是流动相似的主导因素，而运动相似只是几何相似和动力相似的表征；三者密 切相关，缺一不可。 8 5.1.2 相似原理 理论上，任意一个流动由控制该流动的基本微分方程和相应的定解条件唯一 确定。两个相似的流动现象，为了保证它们遵循相同的客观规律，其微分方程就 应该相同，这是同类流动的通解；此外，要求得某一具体流动的特解，还要求其 单值条件也必须相似。这些单值性条件包括： （1）初始条件，指非定常流动问题中开始时刻的流速、压力等物理量的分布； 对于定常流动不需要这一条件。 （2）边界条件，指所研究系统的边界上（如进口、出口及壁面处等）的流速、 压力等物理量的分布。 （3）几何条件，指系统表面的几何形状、位置及表面粗糙度等。 （4）物理条件，指系统内流体的种类及物性，如密度、粘性等。 因此，如果两个流动相似，则作为单值性条件相似，作用在这两个系统上的 惯性力与其它各力的比例应对应相等。在流体力学问题中，若存在上述所有这六 种力，而且满足动力相似，则必须使下列各力间的比例对应相等。 9 惯性力与压力（或压差）之比： 2 2 2 2 ( ) I p F V L V F p L p   = =   （5.8） 惯性力与重力之比： 2 2 2 3 I G F V L V F L g gL  = =  （5.9） 惯性力与摩擦力之比： 2 2 I v F V L VL LV F VL   = = =    （5.10）

惯性力与弹性力之比： 惯性力与表面张力之比： E-wE-WL(5.12) F GL 上述(5.8)~(5.12)式分别引入了以下五个无量纲数： ID欧拉数EM=p p 2)弗汝德数斤=巴 3)雷诺数Re=pL 4)马恭数h名 5)韦伯数e=p2L 可以看出，EL、Fr、Re、Ma和W都是无量纲数，在相似理论中称 作相似准则或者相似判据，它们是判断两个现象是否相似的依据。因而，彼此相 似的现象，其同名相似准则的数值一定相等。反之，如果两个流动的单值条件相 似，而且由单值条件组成的同名相似准则的数值相等，则这两个现象一定相似。 12 5.2量纲分析法及定理的应用 量纲和谐原理指出，要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，其所遵 循的物理方程式各项的量纲必须一致。这是量纲分析法的基础，因此也可以用这 一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。当某个流动现象未知或复 杂得难以用理论分析写出其物理方程时，量纲分析就是一种强有力的科学方法。 这时只需仔细分析这些现象所包含的主要物理量，并通过量纲分析和换算，将含 有较多物理量的方程转化为数目较少的无量纲数组方程，就能为解决问题理出头 绪，找出解决问题的方向，这就是量纲分析的价值

惯性力与弹性力之比： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I E v F V L V L V F E L c L c   ===  （5.11） 惯性力与表面张力之比： 2 2 2 I T F V L V L F L   = =   （5.12） 上述（5.8）~（5.12）式分别引入了以下五个无量纲数： 1）欧拉数 2 V Eu p  =  2）弗汝德数 2 V Fr gL = 3）雷诺数 Re VL =  4）马赫数 V Ma c = 5）韦伯数 2 V L We  =  可以看出， Eu 、 Fr 、 Re、 Ma 和 We 都是无量纲数，在相似理论中称 作相似准则或者相似判据，它们是判断两个现象是否相似的依据。因而，彼此相 似的现象，其同名相似准则的数值一定相等。反之，如果两个流动的单值条件相 似，而且由单值条件组成的同名相似准则的数值相等，则这两个现象一定相似。 12 5.2 量纲分析法及定理的应用 量纲和谐原理指出，要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，其所遵 循的物理方程式各项的量纲必须一致。这是量纲分析法的基础，因此也可以用这 一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。当某个流动现象未知或复 杂得难以用理论分析写出其物理方程时，量纲分析就是一种强有力的科学方法。 这时只需仔细分析这些现象所包含的主要物理量，并通过量纲分析和换算，将含 有较多物理量的方程转化为数目较少的无量纲数组方程，就能为解决问题理出头 绪，找出解决问题的方向，这就是量纲分析的价值