第七章粘性流体绕物体的流动 在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体运动时不考 虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数学理论而完全建立 在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中许多重要问题，但其结果 常受实验条件限制。这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现 象持续了150多年，直到本世纪初普朗特提出了边界层理论为止。由于边界层理 论具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学的一 个重要领域。本章介绍边界层的基本概念及研究方法 第一节边界层的基本概念 一、边界层的概念 1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学家普朗 特第一次提出了边界层的概念。他认为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷 诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这 一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。普朗特的这 一理论，在流体力学的发展史上有划时代的意义。 图51所示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动，根据普朗特边界层 理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为三个区域，即边界层、外部 势流和尾涡区
第七章 粘性流体绕物体的流动 在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体运动时不考 虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数学理论而完全建立 在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中许多重要问题，但其结果 常受实验条件限制。这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现 象持续了 150 多年，直到本世纪初普朗特提出了边界层理论为止。由于边界层理 论具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学的一 个重要领域。本章介绍边界层的基本概念及研究方法 第一节 边界层的基本概念 一、边界层的概念 1904 年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学家普朗 特第一次提出了边界层的概念。他认为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷 诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这 一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。普朗特的这 一理论，在流体力学的发展史上有划时代的意义。 图 5-1 所示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动，根据普朗特边界层 理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为三个区域，即边界层、外部 势流和尾涡区
边界层外边界 M外部势流 川尾部流区域 边异层外边界 图5-1翼型上的边界层 在边界层和尾涡区内，黏性力作用显著，黏性力和惯性力有相同的数量级 属于黏性流体的有旋流动区：在边界层和尾涡区外，流体的运动速度几乎相同， 速度梯度很小，边界层外部的流动不受固体壁面的影响，即使黏度较大的流体， 黏性力也很小，主要是惯性力。所以可将这个区域看作是理想流体势流区，可以 利用前面介绍的势流理论和理想流体伯努里方程来研究流场的速度分布。普朗特 边界层理论开辟了用理想流体理论和黏性流体理论联合研究的一条新途径。实际 上边界层内、外区域并没有明显的分界面，一般将壁面流速为零与流速达到来流 速度的99%处之间的距离定义为边界层厚度。边界层厚度沿着流体流动方向逐 渐增厚，这是由于边界层中流体质点受到摩擦阻力的作用，沿着流体流动方向速 度逐渐减小，因此，只有离壁面逐渐远些，也就是边界层厚度逐渐大些才能达到 来流速度。 根据实验结果可知，同管流一样，边界层内也存在着层流和紊流两种流动状 态，若全部边界层内部都是层流，称为层流边界层，若在边界层起始部分内是层 流，而在其余部分内是紊流，称为混合边界层，如图5-2所示，在层流变为紊流 之间有一过渡区。在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层。判别边 界层的层流和紊流的准则数仍为雷诺数，但雷诺数中的特征尺寸用离前缘点的距 离x表示之，特征速度取边界层外边界上的速度V。，即 (5-1)
图 5-1 翼型上的边界层 在边界层和尾涡区内，黏性力作用显著，黏性力和惯性力有相同的数量级， 属于黏性流体的有旋流动区；在边界层和尾涡区外，流体的运动速度几乎相同， 速度梯度很小，边界层外部的流动不受固体壁面的影响，即使黏度较大的流体， 黏性力也很小，主要是惯性力。所以可将这个区域看作是理想流体势流区，可以 利用前面介绍的势流理论和理想流体伯努里方程来研究流场的速度分布。普朗特 边界层理论开辟了用理想流体理论和黏性流体理论联合研究的一条新途径。实际 上边界层内、外区域并没有明显的分界面，一般将壁面流速为零与流速达到来流 速度的 99％处之间的距离定义为边界层厚度。边界层厚度沿着流体流动方向逐 渐增厚，这是由于边界层中流体质点受到摩擦阻力的作用，沿着流体流动方向速 度逐渐减小，因此，只有离壁面逐渐远些，也就是边界层厚度逐渐大些才能达到 来流速度。 根据实验结果可知，同管流一样，边界层内也存在着层流和紊流两种流动状 态，若全部边界层内部都是层流，称为层流边界层，若在边界层起始部分内是层 流，而在其余部分内是紊流，称为混合边界层，如图 5-2 所示，在层流变为紊流 之间有一过渡区。在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层。判别边 界层的层流和紊流的准则数仍为雷诺数，但雷诺数中的特征尺寸用离前缘点的距 离 x 表示之，特征速度取边界层外边界上的速度 V ，即 V x Rex = （5-1）
77 层流底层 层流边界层「 过渡区域 紊流边界层 图5-2平板上的混合边界层 对平板的边界层，层流转变为紊流的临界雷诺数为R爬，=5x10~3×I0°。临 界雷诺数的大小与物体壁面的粗糙度、层外流体的紊流度等因素有关。增加壁面 粗糙度或层外流体的紊流度都会降低临界雷诺数的数值，使层流边界层提前转变 为紊流边界层。 二、边界层的基本特征 ()与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小，δ<x (②)边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度。 ()边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体质点受到黏性 力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势流速度，边界层厚度必然逐渐增加 (④)由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的压强等于同一 截面上边界层外边界上的压强值。 (⑤)在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。 (6)边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。 第二节 边界层的动量积分方程 边界层内的流体是黏性流体的运动，理论上可以用N-S方程来研究其运动 规律。但由此得到的边界层微分方程中，非线性项仍存在，因此即使对于外形很 简单的绕流物体求解也是很复杂的，目前只能对平板、楔形体绕流层流边界层进
图 5-2 平板上的混合边界层 对平板的边界层，层流转变为紊流的临界雷诺数为 5 6 Rex = 510 ~ 310 。临 界雷诺数的大小与物体壁面的粗糙度、层外流体的紊流度等因素有关。增加壁面 粗糙度或层外流体的紊流度都会降低临界雷诺数的数值，使层流边界层提前转变 为紊流边界层。 二、边界层的基本特征 (1) 与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小, x (2) 边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度。 (3) 边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体质点受到黏性 力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势流速度，边界层厚度必然逐渐增加。 (4) 由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的 压强等于同一 截面上边界层外边界上的压强值。 (5) 在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。 (6) 边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。 第二节 边界层的动量积分方程 边界层内的流体是黏性流体的运动，理论上可以用 N-S 方程来研究其运动 规律。但由此得到的边界层微分方程中，非线性项仍存在，因此即使对于外形很 简单的绕流物体求解也是很复杂的，目前只能对平板、楔形体绕流层流边界层进
行理论计算求得其解析解。但工程上遇到的很多问题，如任意翼型的绕流问题和 紊流边界层，一般来说求解比较困难，为此人们常采用近似解法，其中应用的较 为广泛的是边界层动量积分方程解法。 下面来推导边界层动量积分方程。假定平面边界内流动是定常的并忽略质量 力，在边界层的任一处，取单位宽度、沿边界层长度为的微元段作为控制体， 如图5-3所示。控制体的控制面由边界层的横断面AB与CD以及内边界AD和 外边界BC组成。对控制体应用物理概念十分清楚的动量方程则有：通过控制面 AB、BC、CD的动量变化率等于作用在控制面AB、BC、CD、AD上所有外力 的合力。 首先计算通过边界层控制面在轴方向上的动量变化率。 单位时间流入x处控制面AB的动量为 K,=可pm 从x+dr处控制面CD流出的动量为 飞+袋-+品[ah 从控制面BC流入的动量采用下列求法，首先计算从处控制面AB流入 的质量流量 m,=了pm, 而从x+dx处控制面CD流出的质量流量为 k+歌-ma海+[〔m 由不可压缩流体的连续性方程可知，通过CD与AB控制面质量流量的差值 应等于由BC控制面流入的质量流量，于是流入BC控制面的质量流量与动量分 别为
行理论计算求得其解析解。但工程上遇到的很多问题，如任意翼型的绕流问题和 紊流边界层，一般来说求解比较困难，为此人们常采用近似解法，其中应用的较 为广泛的是边界层动量积分方程解法。 下面来推导边界层动量积分方程。假定平面边界内流动是定常的并忽略质量 力，在边界层的任一处，取单位宽度、沿边界层长度为 d 的微元段作为控制体， 如图 5-3 所示。控制体的控制面由边界层的横断面 AB 与 CD 以及内边界 AD 和 外边界 BC 组成。对控制体应用物理概念十分清楚的动量方程则有：通过控制面 AB、BC、CD 的动量变化率等于作用在控制面 AB、BC、CD、AD 上所有外力 的合力。 首先计算通过边界层控制面在轴方向上的动量变化率。 单位时间流入 x 处控制面 AB 的动量为 = 0 2 K v dy x x 从 x +dx 处控制面 CD 流出的动量为 v y x x x v y x K K x x x x d d d d 0 2 0 2 = + + 从控制面 BC 流入的动量采用下列求法，首先计算从 处控制面 AB 流入 的质量流量 = 0 m v dy x x 而从 x +dx 处控制面 CD 流出的质量流量为 v y x x x v y x K K x x x x d d d d 0 2 0 2 = + + 由不可压缩流体的连续性方程可知，通过 CD 与 AB 控制面质量流量的差值 应等于由 BC 控制面流入的质量流量，于是流入 BC 控制面的质量流量与动量分 别为 v y x x m xd d 0 BC =
+d 图5-3推导边界层的动量积分关系式用图 整理上述单位时间内通过控制面的流体动量的通量在x方向的分量，得 Σ=k-k-kx-[a-a- 下面计算作用在控制面上所有外力在x轴方向的合力。忽略质量力，故只有 表面力。 作用在控制面AD上的表面力为 FAD =-Tdx 作用在控制面AB、CD上的表面力分别为 F,=po F-ps+2时 作用在边界层外边界控制面BC上的表面力，因摩擦应力为零，而压强可取 B、C两点压强的平均值，于是有 e-(p+出照如 整理上述作用在控制面上的所有表面力在x方向的代数和，并注意到略去二 阶小量，得 Σ=+pi-[ps+n{p+出ar]r dx
v y x x K ue xd d 0 BC = 图 5-3 推导边界层的动量积分关系式用图 整理上述单位时间内通过控制面的流体动量的通量在 x 方向的分量，得 v y x x v y x u x Kx Kx x Kx K xd d e xd d 0 0 2 d BC − = − − = + 下面计算作用在控制面上所有外力在 x 轴方向的合力。忽略质量力，故只有 表面力。 作用在控制面 AD 上的表面力为 F x AD = − wd 作用在控制面 AB、CD 上的表面力分别为 Fx = p + = − + x x p Fx x p d d d( ) d 作用在边界层外边界控制面 BC 上的表面力，因摩擦应力为零，而压强可取 B、C 两点压强的平均值，于是有 x x x x p F p d d d d d d 2 1 BC = + 整理上述作用在控制面上的所有表面力在 x 方向的代数和，并注意到略去二 阶小量，得 x x x x p x p x p Fx w x p p d d d d d d 2 1 d d d( ) d + + = − + − +