教案 姓名董寒晔 2010-201学年第二学期 时间2011.4.18节次12 课程名称 高等数学授课专业及层次 2010级应用物理学本科1班 授课内容 全微分 学时数 2学时 教学目的 1.理解多元函数全微分的概念2.会求函数的全微分：3.了解多 元函数可微的必要条件与充分条件 重点 全微分的概念及求法：可微的必要条件与充分条件 难 点 全微分的概念及求法：可微的必要条件与充分条件。 自学内容 全微分在近似计算中的应用 使用教具 多媒体 相关学科知识 物理学知识 教学法 讲授法，启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配（可加附页） 复习：1.一元函数的微分 5分钟 2,多元函数求偏导 一、全微分的定义：（重点讲解） 1、全增量定义：果函数z=(x,)在点(x,y)的某邻域有定义， 5分钟 (x+△x,y+△y),=f(x+△x,y+△y)-f(y)称为函数z=f(x,y)在 点（化，）的全增量。 (启发学生思考偏增量概念) 2、全微分定义：如果函数z=f(x)在点的全增量 △=fx+△x,y+△y)-f(x,y)可表示为△上=A△x+BAy+o(P) 其中A,B不依赖于△x,△v,而仪与x,y有关，P=V(Ax)2+(△y)2,则称函数 15分钟 =f(x,)在点(,y)可微，而AAx+BAy称为函数z=f(x,)在点（，）的 全微分，记作d,即d也=A△r+BAy (详细讲解，注意说明p及o(p)的含义) 3、z=(x,)在点（化，）可做分的条件：
讲授内容纳要、要求及事件分配（附负） 定理1（必要条件）如果z=fx,)在点(xy)可微，则该函数在点(x,y)的偏 10分钟 (启发学生思路，完成证明.) 例：商藏红，功-平+广0布00足杏有行在全微分 15分钟 0,x2+y2=0 (设置问题，引导学生思考定理1逆命题是否成立，引出充分条件) 定理2（充分条件)如果函数：=化，)的导数空产在点（，)连续，则 dx oy 昌政车该可资、止一会血+票小(《伯发学生思路，完成证明》 15分钟 练习：习题935（讨论连续、偏导存在、可微分之间关系） 例1：计算函数2=xy+y的全微分 5分钟 例2：求z=e”在点(2，)的全微分。 5分钟 例3：计算u=x+sin上+e产的全微分。 10分钟 二、全微分在近似计算中的应用：（简单介绍，自学为主） 三元酒数数2三化，》的偏导爱交，完布点化)连铁，并A 都较小时，有近似等式 △z=k=f(x,y)△x+f,(x,y)Ay f(x+△x,y+Ay)≈f(x,y)+f(x,y)△x+f,(x,y)Ay 10分钟 例4：计算1.04)2的近似值。 例5：有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径山20cm增大到20.05cm,高度 山100cm减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值. 三课堂总结 本节重点讲述了全微分的概念与条件，讨论了可微性与连续性、可微性与可偏导 的关系。特别是可微分的必要条件与充分条件的理解。 5分钟 布置作业：习题9-31(2)(4)、2