A①②④B③④4C①③4D①② 居点:三次函数图象与系数的关系 专题压轴题 分析:①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交 点位置求得a、b、c的符号 ②根据对称轴求出b=-a ③把x2代入函数关系式,结合图象判断函数值与0的 大小关系; ④求出点(0,y)关于直线x=的对称点的坐标,根据对 称轴即可判断y和y的大小 解答:解:①∵二次函数的图象开口向下 <0 二次函数的图象交y轴的正半轴于一点 ∴:对称轴是直线x= ∴b=-a>0 ∴abc<0 故①正确;
A ． ①②④ B ． ③④ C ． ①③④ D ． ①② 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与 y 轴交 点位置求得 a、b、c 的符号； ②根据对称轴求出 b=﹣a； ③把 x=2 代入函数关系式，结合图象判断函数值与 0 的 大小关系； ④求出点(0，y1)关于直线 x= 的对称点的坐标，根据对 称轴即可判断 y1和 y2的大小． 解答：解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象交 y 轴的正半轴于一点， ∴c＞0， ∵对称轴是直线 x= ， ∴﹣ ， ∴b=﹣a＞0， ∴abc＜0． 故①正确；
②∵由①中知b=-a, a+b=0 故②正确; ③把x-2代入y=ax2+bx+c得:y=4a+2bte ∵抛物线经过点(2,0), 当x-2时,y=0,即4a+2b+c=0 故③错误; ④:(0,y)关于直线x=对称点的坐标是(1,y1) y1-y2 故④正确; 综上所述,正确的结论是①②④ 故选:A 点评本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用,注 意:当a>0时,二次函数的图象开口向上,当a<0时 次函数的图象开口向下 7.如图,在△ABC中,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC 于点D.过点C作CF∥AB,在CF上取一点E,使DE=CD, 连接AE.对于下列结论:①AD=DC;②△CBA∽△CDE;③ BD=A;④AE为⊙O的切线,一定正确的结论全部包含其中的 选项是()
②∵由①中知 b=﹣a， ∴a+b=0， 故②正确； ③把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得：y=4a+2b+c， ∵抛物线经过点(2，0)， ∴当 x=2 时，y=0，即 4a+2b+c=0． 故③错误； ④∵(0，y1)关于直线 x= 的对称点的坐标是(1，y1)， ∴y1=y2． 故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：A 点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注 意：当 a＞0 时，二次函数的图象开口向上，当 a＜0 时， 二次函数的图象开口向下． 7．如图，在△ABC 中，AB=CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D．过点 C 作 CF∥AB，在 CF 上取一点 E，使 DE=CD， 连接 AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③ = ；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的 选项是( )
A①②B①②③C①④D①②④ 居点:切线的判定;相似三角形的判定与性质 专题压轴题 分析根据圆周角定理得∠ADB=90°,则BD⊥AC,于是根 据等腰三角形的性质可判断AD=DC,则可对①进行判 断;利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠ ∠2=∠3=∠4,则根据相似三角形的判定方法得到 △CBA∽△CDE,于是可对②进行判断;由于不能确 定∠1等于45°,则不能确定与相等,则可对③进行 判断;利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°,即CE⊥ AE,根据平行线的性质得到AB⊥AE,然后根据切线 的判定定理得AE为⊙O的切线,于是可对④进行判 断 解答:解:∵AB为直径, ∴∠ADB=90° BD⊥AC 而AB=CB ∴AD=DC,所以①正确; AB=CB ∠1=∠2, 而CD=ED ∠3=∠4, ∴CF∥AB, ∠1=∠3
A ． ①② B ． ①②③ C ． ①④ D ． ①②④ 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质． 专题：压轴题． 分析：根据圆周角定理得∠ADB=90°，则 BD⊥AC，于是根 据等腰三角形的性质可判断 AD=DC，则可对①进行判 断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠ 1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到 △CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确 定∠1 等于 45°，则不能确定 与 相等，则可对③进行 判断；利用 DA=DC=DE 可判断∠AEC=90°，即 CE⊥ AE，根据平行线的性质得到 AB⊥AE，然后根据切线 的判定定理得 AE 为⊙O 的切线，于是可对④进行判 断． 解答：解：∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， 而 AB=CB， ∴AD=DC，所以①正确； ∵AB=CB， ∴∠1=∠2， 而 CD=ED， ∴∠3=∠4， ∵CF∥AB， ∴∠1=∠3
∴∠1=∠2=∠3=∠4 △CBA∽△CDE,所以②正确 △ABC不能确定为直角三角形 ∠1不能确定等于45°, ∴丽与不能确定相等,所以③错误 DA=DC=DE 点E在以AC为直径的园上 ∠AEC=90°, ∴CE⊥AE 而CF∥AB, AB⊥AE AE为⊙O的切线,所以④正确 故选:D 点评题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是园的切线也考查了等腰三角形的性 质、平行线的性质和相似三角形的判定 8.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N 分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值 是5cm,则∠AOB的度数是()
∴∠1=∠2=∠3=∠4， ∴△CBA∽△CDE，所以②正确； ∵△ABC 不能确定为直角三角形， ∴∠1 不能确定等于 45°， ∴ 与 不能确定相等，所以③错误； ∵DA=DC=DE， ∴点 E 在以 AC 为直径的圆上， ∴∠AEC=90°， ∴CE⊥AE， 而 CF∥AB， ∴AB⊥AE， ∴AE 为⊙O 的切线，所以④正确． 故选：D． 点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性 质、平行线的性质和相似三角形的判定． 8．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△PMN 周长的最小值 是 5cm，则∠AOB 的度数是( )
A25° B30° C35° D40° 考点轴对称最短路线问题 专题压轴题 分析:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD 分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN MN,由对称的性质得出PM=CM,OP=OC,∠COA ∠POA;PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,得出∠ AOB=1∠COD,证出△OCD是等边三角形,得出∠ COD=60°,即可得出结果 解答:解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接 CD 分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN MN,如图所示 点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C PM=DM.OP=OD.∠DOA=∠POA ∵点P关于OB的对称点为C ∴PN=CN.OP=OC.∠COB=∠POB ∴OC=OP=OD,∠AOB=1∠COD, △PMN周长的最小值是5cm, PM+PN+MN=5 DM+CN+MN=5
A ． 25° B ． 30° C ． 35° D ． 40° 考点：轴对称-最短路线问题． 专题：压轴题． 分析：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD， 分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、 MN，由对称的性质得出 PM=CM，OP=OC，∠COA= ∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠ AOB= ∠COD，证出△OCD 是等边三角形，得出∠ COD=60°，即可得出结果． 解答：解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD， 分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、 MN，如图所示： ∵点 P 关于 OA 的对称点为 D，关于 OB 的对称点为 C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD， ∵△PMN 周长的最小值是 5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5