第一章数与式 第1节实数 点一:实数的概念及分典 关键点拨及对应举例 (1)按定义分 (2)按正、负性分(1)不满于正数,也不属于负数 正有理 (2)无理数的几种常见形式判断:①含的式 有理数{0 有限小数或 正实数子:②构造型:如301000(每两个1 负有理数J无双循环小数实数0 .实数 之间多个0)然是一个无不循环小数:③ 数 开方开不尽的数如,:④三角函数型:如 正无理数 负实数 sn0°.n25° 无理饮 无限不值还小数 (3)失分点警示:开得尽方的古号的数属于 负无速数 有理数,如2,3.它们移于有理数 考点二:实数的相关概念 「(1)三要素:原点、正方向,单位长度 例 2.数轴 (2)特征:实数与数轴上的点一对应:数轴右边的点表示数轴上25表示的点到原点的距离是25 的数总比左边的点表示的数大 (1)念:只有符号不同的两个数 a的相反数为.特别的0的绝对值是0 3相反数(3)几何意义:数轴上表示互为相反数的两个点到原点的理例:3的相反数是34的相反数是L 离相等 (1)几何意义:数轴上表示的点到原点的距离 (1)若xa(a20),则X士a 4绝对值 (2)运算性质:J(a0):| (2)对绝对值等于它本身的数是非负数 (a<0) 例:5的对值是5:}22:艳对值等于 (3)非负性:a20.若油b2=0.则a=b=Q 3的是3:1- (1)瓶念:乘积为1的两个数互为倒数a的倒数为1a:0)例: 5倒数 (2)代数意义:ab1ab互为倒数 2的倒数足:倒数等于它本身的数 有 「考点三:科学记数法、近似数 (1)形式:a10其中19<10.n为整数 例: 6科学记(2)确定n的方法:对于数位较多的大数,n等于原数的整数为2100)科学记数法表示为211 数法 去L:对于小数写成10°,19<10.m等于原数中左起至19万用科学记数法表示为1910 第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的一个) 00007用科学记数法表示为210 (1)定义:一个与实际数值很接近的数 例 7近你数(2)稍确度:由四含五人到得一位,就说这个近你数稍确到哪314159稍确到分位是34:稍确 到0001是3142 考点四:实数的大小比较 (1)数始比较法:数输上的两个蚊,右边的数总比左边的蚊大例 (2)性质比较法:正数>0>负数;两个负数比较大小,免对值把1,20.23按从大到小的顺序排 8实数的大的反丙尘 列结果为1202-2223 大小比较(3)作差比较法:ab>0a>b:4b0ab:ab<0a<b (4)早方法:a>b20a2>b2 考点五:实数的运算 来方肌几个相同因的积负故的携《奇)次方为正(负)例 零次高。1(aO (1)计算:1-26-7 「负指饮幂”1(A0P为整饮 平方根、 运算术平方根若(E0则x其中上是算术早方根 一的为算术为是
立方根 若xa则x 8立方根是4 失分点警示:类似“的算术早方根计算 先乘方、开方,再乘除.最后加减:问级运算.从左 错误例:相互对比填一填:16的算 0.灌含运算 句右进行:如有括号,先做括号内的远算,按小括号 中括号、大括号一次进行计算时,可以结含运算律 术平方根是4的算术平方根是 使问题简单化 第2讲整式与因式分解 考点一:代式及相关概念 关键点拨及对应举例 (1)代数式:用运算符号{加、减、乘、除、乘方、开方)把数 或表示数的字母连接而成的式子单独的一个数或一个字母也求代数式的值常运用整体代入法 l代数式是代数式 计算 (2)求代数式的值:用具体数值代替代数式中的字母,计算得出例:3-b=3,则3-3a=9 的结果,叫做求代数式的值 (1)单项式:表示数字与字母积的代数式,单独的一个数或一个例 字母也叫单项式其中的数字因数叫做单项式的系数,所有(1)下列式子:①2②35b 2整式字母的指数和叫做单项式的次数 ③x2④2x③7a7x2+8xy: (单项(2)多项式:几个单项式的和多项式中的每一项叫做多项式的2017其中属于单项式的是① 式、多 项.次数最高的项的次数叫做多项式的次数 ⑤⑦:多项式是②:同类 项式)(3)整式:单项式和多项式统称为整式 是①和 (4)同类项:所含字母相问并且相同字母的指数也相同的项叫做(2)多项式7m1m+1是六次 同类项所有的常数项都是同类项 三项式,常数项是 考点二:整式的运算 (1合并同类项法财同类项的系数相加,所得的结果作为系数字失分警示:去括号时,如果括号外 3整式的母和字母的指数不变 面是符号.一定要变号.且与括号 加减运(2)去括号法斯若括号外是“”,则括号里的各项都不变号;若内每一项相系,不要有漏项 括号外是“-”则括号里的各项都变号 例:-23-2h-1)==6+4b+ (3)整式的加减运算法则:先去括号.再合并同类项 2 (1)同底数幂的乘法:aa"g (1)计算时,注意察,善于运用 部诉(2)的系方(T=c 其中mn它们的逆运算解决问题例:已 都在整数知2m1n2则32=25 法则(6)积的乘方:(aby=正E; (2)在解决幂的远算时,有时需 (4同底数幂的除法:a=g(a:O) 要先化成同底数例: (1)单项式单项式:①系数和同底数幂分别相乘;②只有一个字 母的滋抄 分警示:计算多项式系以多项式 (2)单项式多项式:m(a+b) math 时,注意不能漏乘,不能丢项,不 5整式的|()多项式多项式( moXa b)mamba 能出现变号错 (5多项式单项式:①多项式的每一项除以单项式:②商相加,22-1b+2)=2b4-b- 乘除运(4单项式单项式:将系数、同底数分别相除 算 (6平差公式(a+ba-b)下=2 意乘法公式的逆向运用及其变 乘法「完全平方公式:(m份2bE变形公式 形公式的运用 公式2+b2(ab)2hb=lab).(a2+b)a2 6混合运注计算质序,应先算系除,后算加减;若为化简求值,一散步:(a1)4a3%3)10 算骤为:化简、代入替换、计算 考点五:因式分解 (1)定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式 (1)因式分解要分解到最后结果不 (2)常用方法:①提公因式法:ma+mb+mm(a+b+ 能再分解为止,相同因式写成幂 7因式分 ②公式法:d-b=(a+ba-b):a22ab+b2= 的形式 )-没步骤:①若有公因式,必先提公因式;②提公因式后,若|②因式分解与整式的乘法互为逆 是否能用公式法分解:③检查各因式能否继续分解 算
第3讲分式 考点一:分式的相关概念 关键点拔及对应举例 在判断某个式子是否为分式时,应注 1.分的/(1)分式:形如合4B是整式,且B中含有空母B0:(1)列所化简之间的式子:(2)x 是常数.不是字母。例:下列分式:0 念 的式子 (2)最简分式:分子和分母没有公因式的分式 ②③④2x+2.其中是分式是28④ 最简分式③ (1)无意义的条件:当B=0时,分式一无意义 失分点警示:在解决分式的值为0.求 2分式的(2有意义的条件:当B0时,分式有意义; 值的问题时,一定要注意所求得的值满 意义 足分母不为0 (3值为零的条件:当心三0.BE0时,分式B0 例:当x的值为0时,则x山 (1)基本性质:B=BC“BC 由分式的基本性质可将分式进行化简 3基本性(2)白基本性质可推理出变号法则为 质 例:化答,x2-1 A -A A) A- A x+2x+1x+1 B -BB BB -B 考点三:分式的运算 (1)约分(可化简分式):把分式的分子和分母中的公因式约 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母,然后根据分式的性质通分 4分式的即 bm b 例:分式 和 的最简公分 通分2通分可化为同分母根分的基本性质把异分母的 分式化为问分母的分式 b d bcbc 母为x(x2 (1同分母:分母不变,分子相加减职2做 5分式的 例 加减法 2)异分母:先通分,变为同分母的分式,再加减即方= -11-x a+1a-1 (1)乘法:bM 2除法:二 6分式的 例:2=1;2+1=2; r x 除活|(3)乘方:6 (n为正整数 (1)仅含有乘除远算:首先观察分子、分母能否分解因式 失分点警示:分式化简求值问题,要先 2分式的 若能,就要先分解后约分 混合运/(2)含有括号的运算:注意运算质序和运算律的合理应用一将分式化简到最节或整式的形式 殼先算乘方,再算乘除,最后算加减,若有括号,先算 再代入求值代入数值时注意要使原分 括号里面的 式有意义有时也需运用到整体代入
第4讲二次根式 考点一:三次式 关键点拨及对应举例 (1)二次根式的概念:形如a(a0)的式子 失分点警示:当判断分式、二次根式成的复 合代数式有意义的条件时,注意确保各部分都 (2)二次恨式有意义的条件.被开方数大于或等于0 有意义,即分母不为0,被开方数大于等于0 1有关念(3)最简二次根式:①坡开方数的因数是整数,四式是整 等例:若代数式 有意义,则x的取值 式(分母中不含根号):②被开方数中不含能开得尽方 的因数或因式 范围是x21 利用二次根式的双重负性解题 (1)双重非负性: 1)值非负:当多个非负数的和为0时,可得 ①被开方数是非负数.即a0 各个非负数均为0如√a+1+√b-1=0 ②二次根式的值是非负数.即√a20 则a=-1.b=1 (2)被开方数非负:当互为相反数的两个数同 时出现在二次根式的被开方数下时,可得 注意:初中阶段学过的非负数有:绝对值、偶幂、算式平 2二次根式的方根、二次根式 这一对相反数的数均为0.如已知 性质 b√-1a,则ab (2)两个重要性质 例:计算 G=ga0):②a-ll a(a≥0) 14=31:√2)=2: G3)积的算术方根:ab=√a√(a0.b=0) √2 (4)的算术平方根:=(a0.b>0) √3 考点二:三次根式的运算 3二次根式的先将各根式化为最简二次根式再合并被开方数相同的二次 根式 例:计算:E-+、2=3E L加减法 (1)乘法:G、√6ab(a0.b20): 4二次根式的 注意:将运算结果化为最简二次根式 乘除法 (2)除法 (420.b>0), 例;计算:1:要 运算时,注意观察,有时运用乘法公式 5二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算桑除,最会使运算简使 混合运算后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号) 例:计算:(V2+1XE1)=1
第二单元方程(组)与不等式(组) 第5讲一次方程(组) 考点一:方程及其相关概念 关键点拨及对应举例 )性质1:等式两边加或减同一个数或同一个整式,所得结果 仍是等式即若a=b,则atc=bt 失分点警示:在等式的两边同除以 1.等式的基本 2性质2:等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能为0).个数时、这个数必须不为0 所得结果仍是等式即若a=b,则ac=be.“2(eo) 例:判断正误 性质 (1)若a=b则aebc.(x) 3)性质3:(对称性)若ab则b=a (2)若acbc,则a=b.(V) (4)性质4:(传递性)若a=bb=c,则a=c ()一元一次方程:只含有一个未知数.并且未知数的次数是1 且等式两边都足整式的方程 在运用一元一次方程的定义解题时 2.关于方程 (2)二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次注意一次项系数不等于0 数都是1的整式方程 的基本概念G3)二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的例若(a-2)x2+a=0是关于x的 组方程 元一次方程.则a的值为Q (4)二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解 考点三解一元一次方程和三元一次方程组 (1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数.不要漏乘常数项 3解一元一次 (2法去括号:括号外若为负号,去括号后括号内各项均要变号;失分点警示:方程去分母时,应该将 3)移项:移项要变号 分子用括号括起来,然后再去括号 方程的步(4)合并同类项:把方程化成ax=b(a0) 坊止出现变号借误 (5)系数化为1:方程两边同除以系数a得到方程的解x=ba 思路:消元将二元一次方程终化为一元一次方星 已知方程组.求相关代数式的值时 方法 篱注意观察,有时不解出方程组 4.二元一次①)代人清元法从一个方程中求出某一个未如数的表达式再把利用整体思想解决解方程组例 方种组的解法它代入另一个方程进行求解 2)加减消元法把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未已知2x,则xy的值为xy 知数的方法 考点三:一次方程(组)的实际应用 (1)申题,申清题息,分清题中的已知量、未知量 (1)设水知数时,一酸求什么没什么,但 (2)设未知数 有时为了方便,也可间接设未知数如题囗 5列方组)(阴方程(组):找出等量关系,列方程(组) 中涉及到比值.可以没每一份为x 解应用题的(4)解方程(组) (2)列方程(组)时,注意抓住题目中的 一般步|(5)检验:检验所解答案是否正确或是否满足符合题意 关词语,如共是、等于,大(多)多少 (6)作答:规范作答、注意单位名称 小(少)多少,几倍、几分之几等 (1)利润问题:售价=标价折扣.销售额一售价销量.利润=售价进价.利润率=利润进价×100% (2)利息问题:利息一本金利率期数,本息和“本金+利息 6常见题型及(3)工程问题:工作量工作效率×工作时间 关系式 (4)行程问题:路程=遗度×时间①相问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程 ②追及问题:a同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;b同时不地出发:前者走的路程 +两地间距离追者走的路程