定理5-7（阿贝尔定理） 如果级数∑anx(x。≠O) n=0 收敛，则对于满足不等式|x<x,|一切X,级 数∑a,x"绝对收敛；反之， 如果级数∑an(x。≠0) n=0 n=0 发散，则对圩满足不等式|x>x|的一 切X,级数∑a,r“发散。 n=0 醒
定理5-7(阿贝尔定理) 如果级数 收敛，则对于满足不等式 一切 ，级 数 绝对收敛；反之，如果级数 发散，则对于满足不等式 的一 切 ，级数 发散。 0 0 0 ( 0) n n n a x x = 0 0 0 ( 0) n n n a x x = 0 | | | | x x x 0 n n n a x = 0 | | | | x x x 0 n n n a x =
证明（①）设x,点是收敛点，即∑a,x收敛，根据 n=0 级数收敛的必要条件，有1ima,x=0,于是存 在常数M,使得 |anxM(n=0,1,2,… X 因为 ≤M Xo 寵
证明 (1)设 点是收敛点，即 收敛，根据 级数收敛的必要条件，有 ，于是存 在常数 ，使得 0 x 0 0 n n n a x = 0 lim 0 n n n a x → = M 0 | | ( 0,1,2, ) n n a x M n = 0 0 0 0 0 | | | | n n n n n n n n n n n x x x a x a x a x M x x x 因为 = =
而当 x <1时，等比级数∑M 收敛，所以 n=0 根据比较判别法知级数∑a,1收敛，即级数∑a,x n=0 绝对收敛； (2)采用反证法来证明第二部分。设x=xo时发 散，而另有一点x,存在，它满足x>x|,并使 得级数∑a,x收敛，则根据1)的结论，当x=x n=0 时级数也应收敛，这与假设矛盾，从而得证
而当 时，等比级数 收敛，所以， 根据比较判别法知级数 收敛，即级数 绝对收敛； (2)采用反证法来证明第二部分。设 时发 散，而另有一点 存在，它满足 ，并使 得级数 收敛，则根据(1)的结论，当 时级数也应收敛，这与假设矛盾，从而得证。 0 1 x x 0 0 n n x M x = 0 | | n n n a x = 0 n n n a x = x x = 0 1 0 | | | | x x 1 0 n n n a x = 0 x x = 1 x
定理5-7的结论表明，如果幂级数在x=。≠0处收 敛，则可断定对于开区间(-x,x)内的任何 幂级数必收敛；若已知幂级数在点 x处发散 则可断定对闭区间 [外的任何 ，幂级 数必发散。这样，如果幂级数在数轴上既有收敛 点（不仅是原点）也有发散点，则从数轴的原点出 发沿正向走去，最初只遇到收敛点，越过一个分 界点后，就只遇到发散点，这个分界点可能是收 敛点，也可能是发散点。从原点出发沿负向走去 的情形也是如此。且两个边界点关于原点对称 见图5-2。 蘭
定理5-7的结论表明，如果幂级数在 处收 敛，则可断定对于开区间 内的任何 ， 幂级数必收敛；若已知幂级数在点 处发散， 则可断定对闭区间 外的任何 ，幂级 数必发散。这样，如果幂级数在数轴上既有收敛 点(不仅是原点)也有发散点，则从数轴的原点出 发沿正向走去，最初只遇到收敛点，越过一个分 界点后，就只遇到发散点，这个分界点可能是收 敛点，也可能是发散点。从原点出发沿负向走去 的情形也是如此。且两个边界点关于原点对称， 见图5-2。 0 x x = 0 0 0 ( | |,| |) − x x x 1 x x = 1 1 [ | |,| |] − x x x