当x<1时，级数收敛；当x≥1时，级数发 散。因此，这个级数的收敛域是区间（一1,1)， 发散域是(-o,-1U[1,+o)。在收敛域（-1,1) 内，有 1+x+x2+…+x”+…= 1一X 即级数 ∑x” 的和函数为 n=0 1-x 超
当 时，级数收敛；当 时，级数发 散。因此，这个级数的收敛域是区间 ， 发散域是 。在收敛域 内，有 即级数 的和函数为 。 | | 1 x | | 1 x ( 1,1) − ( , 1] [1, ) − − + ( 1,1) − 2 1 1 1 n x x x x + + + + + = − 0 n n x = 1 1− x
般函数项级数的收敛域及发散域的结构可能很 复杂，但对于其中最简单最重要的一类函数项级 数，即幂级数来说，它的收敛域的结构很简单， 是一个区间。如例5-18中几何级数就是一个幂级 数，其收敛域（一1,1）是一个区间。 以下主要讨论幂级数
一般函数项级数的收敛域及发散域的结构可能很 复杂，但对于其中最简单最重要的一类函数项级 数，即幂级数来说，它的收敛域的结构很简单， 是一个区间。如例5-18中几何级数就是一个幂级 数，其收敛域 是一个区间。 以下主要讨论幂级数。 ( 1,1) −
5.4.2冥数级及其收敛性 形式为 ∑anx”=a,+ax+a2x2+…+anx”+… n=0 其中常数0，a1,2,,0n称为幂级数的系数。 涵 例如 00 x”=1+x+x2+x2.…+x”+ n=0 n=0 n 213…+ n 都是幂级数
5.4.2 冥数级及其收敛性 形式为 其中常数 称为幂级数的系数。 例如 2 0 1 2 0 n n n n n a x a a x a x a x = = + + + + + 0 1 2 , , , , n a a a a2 3 0 1 n n n x x x x x = = + + + + + 2 3 0 1 ! 2! 3! ! n n n x x x x x n n = = + + + + + 都是幂级数
注：对于形如 ∑a,(x-x)”的幂级数，可通过 -0 作变量代换t=x一x,转化为 ∑a 的形式，所以，以后主要针对形如(5-5)的级数 展开讨论。 显然，当x=0时，幂级数∑ax收敛 n=0 于a,,这说明幂级数的收敛域总是非空的。 翻
注：对于形如 的幂级数，可通过 作变量代换 转化为 的形式，所以，以后主要针对形如（5-5）的级数 展开讨论。 显然，当 时，幂级数 收敛 于 ，这说明幂级数的收敛域总是非空的。 0 0 ( )n n n a x x = − 0 t x x = − 0 n n n a t = x = 0 0 n n n a x = 0 a
般地，对于一个给定的幂级数，首先考虑的是 它的收敛问题，也就是说：x取得数轴上哪些点时 级数(5-5)收敛，取得哪些点时级数(5-5)发散？这 个问题的解决依赖于下面的阿贝尔定理
一般地，对于一个给定的幂级数，首先考虑的是 它的收敛问题，也就是说：x取得数轴上哪些点时 级数(5-5)收敛，取得哪些点时级数(5-5)发散？这 个问题的解决依赖于下面的阿贝尔定理