(3)归一化波函数 乎(r,t)和CY(r,t) 所描写状亮的相对几率是相同的,这里的C是常数。 因为在t时刻,空间任两痕r1和Y2处找到粒 子的相对几率之比是: ap(r, t 亚(1,t CPG, t) p(r,t 可见,平(r,t)和C平(r,t)描述的是同一几率波, 所以波函数有一常教因子不定性 由于粒子在全间出现的几率等于一,所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函教在空间各点强度的相对比例,而不取决于强度的绝对大 小,因而,将波函数乘上一个常数后,所指写的粒子状壳不变,即 平(r,t)和C平(r,t)描述同一状庵 这与经典波不同。经典波波幅增大一(原来的2),则相砬 的波动能量将为原来的4偺,因而代完全不同的波动状。经典波无 归一化问题
（3）归一化波函数 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应 的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无 归一化问题。 Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒 子的相对几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态 2 2 1 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) r t r t C r t C r t = 可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性
归一化常数 若ψ(r,t)没有归-化, t)dτ=A(A是大于零的常数),则有 J|(A)2(r,t)2dτ=1 也就是说,(A)12(r,t)是归一化的波函数, 与ψ(r,t) 描写同一几率浪 (A)1/2称为归一化因子 注意:对归一化浪函数仍有一个模为一的因子不定性。 若ψ r,t)是归一化浪函数,那末, exp{iay(r,t)也 是归一化函数(其中α是实数),与前者描述同一几率浪
归一化常数 ⚫ 若 Ψ (r , t ) 没有归一化， ∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常数），则有 ⚫ ∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )| 2 dτ= 1 也就是说，(A)-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数， 与Ψ (r , t ) 描写同一几率波， (A)-1/2 称为归一化因子。 ⚫ 注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。 若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末， exp{iα}Ψ (r , t ) 也 是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波
(4)平面波归一化 定义 8(x-x/≈√0x≠ x=ro I Diracδ—函数 +8 6(x-xn)d=6(x-x)tx=1(>0 或亭价的表示为:对在ⅹ=x0邻域 (x-x0) 连续的任何函数f(x)有 f(x)6(x-x0)=f(x0) δ画数亦可写成 Fourier积分形式:8(x-x)=2m1cW-n 令k=px/,dk=dpx/h,则 Pr(x-xo) 6(x-x0)= 性质 (-x)=(x) 2Th 6(ax)=(x) 作代换:Px兮x卩分x,则 f(x)6(x-x0)=∫(x0)6(x-x0) S(P-P)
（4）平面波归一化 I Dirac —函数 定义： = − = 0 0 0 0 ( ) x x x x x x ( ) ( ) 1 ( 0) 0 0 0 0 − = − = − + − x x dx x x dx x x 或等价的表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有： ( ) ( ) ( ) 0 0 f x x − x dx = f x − —函数 亦可写成 Fourier 积分形式： ( ) 0 0 2 1 ( ) i k x x x x dk e − − − = 令 k=px/, dk= dpx/, 则 x p x x i x x e dp x ( ) 0 0 2 1 ( ) − − − = 性质： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x0 x x0 f x x − x = f − ( ) | | 1 ( ) x a ax = (−x) = (x) 0 x0 x ( ) x − x0 p p e dx p x p x p p x i x x x x x x ( ) 0 2 1 ( ) − − − = 作代换： ， ， 则
I平面波归一化 写成分量形式 p·r-rl (r,t)=A Φ(P)e ①,(r)=Ae x)Φ,(y)⑩,(z) -Prx -IPr -Ip,zI t=0时的平面波 A Er-ExIt roo 考虎一维积分 Pr(,t),(x, t)dx =eh 」Φ:(x)①,(x)d Pr p (Px-pPx)x A 2A (P-p) e p,,(xo,(r)dx 2rh Pr-pxlx pe(x)p, (x)dx=44 e dx=A12rh8(Pr-Pr)=8(P2-p') 若取A122π=1,则A1=[2m]12,于是Φn(x) ∫。要(x,(x,d=e”nm(P.-)= 平面波可归一化为6(卩-p)函数f(x)b(x-x)=f(x0)(x-x)
II 平面波 归一化 Et i p p r Et i p r t Ae r e • − − ( , ) = = ( ) [ ] 写成分量形式 [ ] 3 [ ] 2 [ ] 1 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) p z i p y i p x i p p p p r i p x y z x y z A e A e A e r Ae x y z = = = • t=0 时的平面波 ( , ) ( , ) ( ) ] 2 2 [ * 2 2 x x t i p p p x t p x t dx e p p x x x x = − − − 考虑一维积分 e x x dx x x x x p p E E t i ( ) ( ) * [ ] = − − e x x dx x x x x p p t i p p ( ) ( ) * ] 2 2 [ 2 2 = − − x x dx px px ( ) ( ) * − 2 ( ) 2 1 x x = A p − p 若取 A1 2 2 = 1，则 A1= [2] -1/2 , 于是 p x i p x x x e 2 1 ( ) = ( ) x x 平面波可归一化为 p − p 函数 ( ) px px = − x t x t dx px px ( , ) ( , ) * − ( ) x x A e dx = p − p p p x i x x [ ] 2 1 − − = p p e dx p p x i x x x x ( ) 2 1 ( ) − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x0 x x0 f x x − x = f −
三錐情况 Φ,(r)Φn(r)dz= 6(x-p)5(p-p)6(P2-p) =(p-p) 厂平G,平 E-Elt ∫。@;() E-Et A=A1A243 6(p-p)=8(p-p) 2Th 3/2 Ip·r-Erl ,(r,t) re inch 其中 e [27 注定:这样归一化后的平面波其模的平方仍不衰示几率密度, 你然只是表示平面波所描写的状庵在空间各点找到粒子的几率 相同
三维情况： Et i p p r Et i p r t e r e • − − = = ( ) [2 ] 1 ( , ) [ ] 3/ 2 r t r t d e r r d p p E E t i p p ( , ) ( , ) ( ) ( ) * [ ] * = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * p p p p p p p p r r d x x y y z z p p = − = − − − = − 1 2 3 3/ 2 [2 ] 1 A = A A A = ( ) ( ) [ ] e p p p p E E t i = − = − − 其中 [ ] 3/ 2 [2 ] 1 ( ) p r i p r e • = 注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度， 依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率 相同