P(x,y)dx=imP()Ax 2→0 k=1 称为对x的曲线积分 Q=四2ew 称为对y的曲线积分 若记ds=(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作 SFds=(.x+(dy 类似地，若T为空间曲线弧，记ds=(dx,dy,dz) F(x,y,z)=(P(xy,),Q(x.y,=),R(x.y,)) Fds=JP(x,yz)dx+()dy+R(yz)dz HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k P x L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k Q y 若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 d s = (d x , dy) , 对坐标的曲线积分也可写作 = + L L F d s P(x, y)dx Q(x, y)dy F(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s = (d x , dy , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.性质 (1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L,(i=1,·,k) 则∫Px,ydx+O(x,yy P.+ (2)用L·表示L的反向弧，则 P(x,y)dx+(x,y)dy=-,P(x,y)dx+(xy)dy 说明： •对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向！ 定积分是第二类曲线积分的特例 HIGH EDUCATION PRESS 返回结束
3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 + L P(x, y)dx Q(x, y)dy = = + k i Li P x y x Q x y y 1 ( , )d ( , )d (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 = − + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对坐标的曲线积分的计算法 定理：设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且 连续，L的参数方程为 x=(②1：a→B,则曲线积分 (y=v(t) 存在，且有 ∫P(x,ydx+2(x,y)ay ={PLo(0.wp'u)+[.w(]w'd1 证明：下面先证 JP(.dx =()dt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t t : → , 则曲线积分 = P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt = (t) 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
根据定义∫P(x,)dx=Iim∑P5,n)△x i=11 设分点x,对应参数1，点(5，n,)对应参数x,由于 Ax,三x,-x=1=p()-0(4-1)=p'()△， JP(x,ydr=ImΣPlo(e),w(,】pc), →0 i=1 因为L为光滑弧，所以p'(t)连续 lim >P(;),w(10()At =∫P[p0),y()o')d 同理可证∫(x,ydy=Q[(0),w(wu)di HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i 由于 i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1 t t i i = ( )t P[ (t), (t)] dt = → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ( )t → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ( )t (t) → = = n i i i i P x 1 0 lim ( , ) 对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t = (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别是，如果L的方程为y=y(x),x:a→b,则 P(dx+()dy =∫{P[x,+2x,(x]y(x)d 「x=中(t) 对空间光滑曲线弧：y=() t:a→B,类似有 z=0(t) ∫P(x八2ix+Q(x,y,2y+R(x,2)dz =∫{P[p(0).w(),o(1p'u) +2Lp(),Ψ)，D()]y'(t) +R[o(t),w(t),@(t)]@'(t)dt HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 定理目录上页下页返回结束
特别是, 如果 L 的方程为 y = (x), x : a → b, 则 P x x Q x x x b a [ , ( )] [ , ( )] d = + (x) 对空间光滑曲线弧 : 类似有 = (t) (t) (t) P[ (t), (t), (t)] : , ( ) ( ) ( ) → = = = t z t y t x t 定理 目录 上页 下页 返回 结束