《偏微分方程》第一章绪论 第一章 基本概念 定义与例子 关于未知函数u(x1,x2,…,xn)的偏微分方程是形如 F(x,,Du,ux1x1,x12,…, llr.a,……)=0(1.1.1) 的关系式,其中,x=(x1,x2,…,n),Da=(ux1,tx2,…,rn,) F是关于自变量x和未知函数a及t的有限多个偏微商的已) 知函数.F可以不显含未知函数t及其自变量x,但必须含有 未知函数的偏微商.涉及几个未知函数及其偏微商的多个偏微分 方程构成一个偏微分方程组,除非另有说明,我们限制自变量 x=(x1,x2,…,xn)取实数值,并设函数及其出现在方程中 的各阶偏微商连续
《偏微分方程》第一章 绪论 • 第一章 绪论 1.1
《偏微分方程》第一章绪论 例1.1.1关于函数u=u(x1,x2,…,xn,t)的η维波动方 程是 (1.1.2) 其中,a>0是常数 例1.1.2当一个导热体的密度和比热都是常数时,其温度 分布u(x,t)满足热传导方程 k△ (1.13 其中,k>0是常数
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《偏微分方程》第一章绪论 例113关于函数叫(x,m2∵…;,xn)的n维 Laplace 程是 △u=un1x1+ux22+…+ lent=0.(14 例1.1.4 Lu=∑a(lx12+∑b()m1+c()=f(m),(11) 其中,u3=ay2,i,j=1,2,…,n,且至少有一个a≠0
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《偏微分方程》第一章绪论 例1.1.5我们称通过给定周线而具有最小面积的曲面为极 小曲面,它满足二阶拟线性方程 (1+2)ux-2 Ur ury+(1+2)uy=0 1.1.6) 例1.1.6三阶拟线性方程的一个例子是 Korteweg-de 方程,简称KdⅤ方程: ut+ cuur +u (11.7) 它是在水波的研究中被首先遇到的,其中,=u(x,t)是二元光 滑函数
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《偏微分方程》第一章绪论 例1.17一个全非线性一阶方程的例子是关于函数(x,切)的 Hamilton- Jacobi方程 ut+ H(Du, )=0, (1.1.8) 其中,x是n元空间自变量,D=(x1,ux2,…,uxn),H(5,x) 是其自变量的非线性函数. 例1.1.8大家知道,一个复解析函数的实部u(x,y)和虛部 U(x,y)满足 Cauchy- Riemann一阶线性方程组 ∫ux=y, (1.1.9) 我们可以把(α(x,y),υ(x,y))视为无旋不可压缩流的速度场
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