答案1.1 1(1)(xy)y=+8aa(x-y)2+(y-x)2=P2(3xy+y=0 x-yigo (4(y-x)x-y)=2d2(6)y-x=x 提示:过点(xy)的切线的横截距和纵截距分别为x-和y-xy 2.设0时刻的质点的在平衡处,坐标轴为一平衡位置为原点,竖直向下为轴的方 设弹簧的弹性系数为k根据能量守恒定律 我们得到微分方程:m(在)2+kx2=2 mgx, x(0=0 3如上建立坐标系,设任意时刻物体的位置为x(t),由牛顿运动定律, 我们得到微分方程: md x/dt=mgk,其中g为重力加速度 4设任意时刻物体的温度为Tt,由牛顿冷却定律, 我们得到微分方程:“()=k(T()A)TO0=工其中k为比例系数, 解该方程得到:T(t)=A+(To-A)eb 5以静止时刻物体的位置为轴的零点,沿斜面向下为轴的方向建立轴。设任意时 刻物体的速度为v(t)根据牛顿运动定律,我们得到微分方程 (0)=0, dt 2 6.微分方程是(x)2如(r) dy d2v 3x2 d d x +3 x()2,代入略 5)xy2+()-的 dp =0,6)psin6=(1-c0s6),,7 d x 8.1),2阶线性;2)2阶非线性;3)2阶非线性;4)m阶线性; 5),1阶若fxy)关于y是线性的,则线性:否则,非线性;6),3阶同左; 7),2阶非线性;8)1阶非线性; 带入验证(略)
答案 1.1 1.(1)(, ) x y ' y xtg y x ytg α α + = − (2) 2 '2 2 ' ( )( ) y x y xy l y − +− = (3) ' xy y + = 0 (4) ' 2 ' ( )( ) 2 y y xy x a y − −= (5) ' 2 y − xy x = 提示：过点(, ) x y 的切线的横截距和纵截距分别为 ' y x y − 和 ' y − xy 。 2.设 0 时刻的质点的在平衡处，坐标轴为一平衡位置为原点，竖直向下为轴的方 向， 设弹簧的弹性系数为 k,根据能量守恒定律 我们得到微分方程：:m( dt dx ) 2 +kx2 =2mgx,x(0)=0, 3.如上建立坐标系，设任意时刻物体的位置为 x(t),由牛顿运动定律， 我们得到微分方程：md2 x/dt2 =mg-k dt dx ,其中 g 为重力加速度; 4.设任意时刻物体的温度为 T(t),由牛顿冷却定律， 我们得到微分方程： dt dT(t) =-k(T(t)-A),T(0)=T0,其中 k 为比例系数， 解该方程得到：T(t)=A+(T0-A) kt e− ; 5.以静止时刻物体的位置为轴的零点，沿斜面向下为轴的方向建立轴。设任意时 刻物体的速度为 v(t),根据牛顿运动定律，我们得到微分方程： 2 3g dt dv = ,v(0)=0; 6．微分方程是 ) 1 ( ) ( ( ) 2 ( ) 2 − = − dx dy x dx dy x op x y x 7. 1) y dx dy x = 2 ，2) y dx dy = ，3) dx dy dx d y = 2 4) 2 2 2 2 3 ( ) 2 3 dy dx x dy x d x c = + ，代入略 5) [ ( ) ] 0 2 + − = dx dy y dx dy dx dy x y ，6) θ ρ ρ θ θ d d sin = (1− cos ) ，7) dt dx tgt dt dy = − 8. 1），2 阶线性 ；2）2 阶非线性；3）2 阶非线性；4）m 阶线性； 5），1 阶若 f(x,y)关于 y 是线性的，则线性；否则，非线性；6），3 阶同左； 7），2 阶非线性；8） 1 阶非线性； 9．带入验证（略）
10.1)通解:y=x2+c;c为任意常数:2)特解为:y=x2+3 5/3 ll0很容易得到:中a,dy=e,d d y re,代入微分方程 1)r=-2;,;2)r=±1,3)r=2或r=-3,4)r=0或r=1或r=2 12.同上我们很容易得到:少=,y=(-1x2,代入微分方程 1)(r(r-1)+4r+2)x=0,则r=-1或r=-2; 2)(r(r-1)4r+4)x=0,则r=1或r=4; 13.1)y=0或者y=ab为其两个常数解; 2)函数单调增,即:y(a-by)≥0解得:0≤y≤a/b; 函数单调减,即;y(a-by)≤0解得:y≥a/b或y≤0 3)微分方程通解是:、xb+ce 所以拐点的y坐标为a/b 4)(略) 返回目录 答案12 1.(1)y≠xR2(2)y≠0(3)R2(4)y≠x 2.(1)y(x)=1,y1(x)=j(s2+1)d=x2+x y2(x)=[2+(x+xs22+2x2+,x2 (2)y(x)=0,y1(x)=e'ds=e-1 2(x)=(e2。、、 e +x+ 3.(1)证:取a1 在矩形区域R={(xy)≤≤b}上,f(xy)=y2+cosx 连续,且关于y有连续的偏导数,计算M=maxf(x,y)=1+b2,h=min b 21+b2 由此可见,h是有界的,由解的存在唯一性定理,知初始值问题的解是存在唯一的
10. 1) 通解：y=x 2 +c,c 为任意常数；2）特解为：y= x 2 +3； 3）y= 2 x +4，4）y=x 2 +5/3; 11. 很容易得到： dx dy = rx re ， 2 2 dx d y =r 2 e rx, 3 3 dx d y =r3 e rx，代入微分方程 1）r = − 2 ;，2）r = ±1，3）r = 2 或r = −3，4）r = 0 或r = 1或r = 2 12. 同上我们很容易得到： dx dy =rx r-1, 2 2 dx d y =r(r-1)xr-2，代入微分方程 1）(r(r-1)+4r+2) r x =0, 则 r=-1 或 r=-2; 2）(r(r-1)-4r+4)xr =0, 则 r=1 或 r=4; 13. 1）y=0 或者 y=a/b 为其两个常数解； 2）函数单调增，即：y(a-by)≥ 0 解得：0≤ y≤ a/b; 函数单调减，即：y(a-by)≤ 0 解得：y≥ a / b 或 y≤ 0 ; 3）微分方程通解是： ax b ce a y x − + ( ) = 所以拐点的y坐标为a/b; 4) （略） 返回目录 答案 1.2 1．（1） y x ≠ 2 R （2） y ≠ 0 （3） 2 R （4） y x ≠ 2．（1） y0 (x) = 1， y x s ds x x x = + = + ∫ 3 0 2 1 3 1 ( ) ( 1) 3 5 7 0 2 3 2 63 1 15 2 3 2 )] 3 1 y (x) [s ( x x ds x x x x = + + = + + ∫ （2） y0 (x) = 0 ， ∫ = = − x s x y x e ds e 0 1 ( ) 1， ∫ = − + = − + + x s s x x y x e e ds e e x 0 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( 1) 3．（1）证：取 2 1 a = ，在矩形区域 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ R = x y x ≤ , y ≤ b 2 1 ( , ) | 上， 2 2 f (x, y) = y + cos x 连续，且关于 y 有连续的偏导数，计算 2 M = max f (x, y) = 1+ b ， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = 2 1 , 2 1 min b b h ， 由此可见，h 是有界的，由解的存在唯一性定理，知初始值问题的解是存在唯一的
(2),(3),(4)的证明和(1)相同(略) 4.提示:代叭(x),v(x)到微分方程验证即可。 5.证明:对条件中的不等式进行求导有:f(1)≤f(t)g(1),∵∫()2g(1)在区间上是非负 连续的,∴∫(x)是单调减少的,即在区间上有最大值M。现在再求最大值 对∫()=f()g(1)积分,则得M=Cexg(s)ds),因此f()≤cexp(g(s)d 6.提示:和3题的证明类似。应用定理及f(x,y)偏导存在 7.证明:假设在x≥x。一侧有两个解y1(x)和y2(x),且y>y2,则由f(x,y)是y的非 增函数,因此f(x,y1)-f(x,y2)≤0,即(y1-y2)≤0,可以得出y-y2是非增的,而 在x0点有y1(x0)-y2(x0)=0,这与y1(x)>y2(x)矛盾,假设不成立,只有一解 8.提示:作逐步逼近函数序列,(x)=f(x) (x)=(x)+)(x.9)9(5)M5,n=012 ML 9.提示:首先判断出满足唯一性条件的hL和M,由pn(x)-p(x)≤ h+1<0.05判 n 断出要进行的迭代次数n,应用 Picard迭代即可,答案是 P(x) x 返回目录 3632079 答案13 1我们还是在以原点为中心的矩形R=xy)xs1y≤1}内画方程的向量场和积分曲线 程序如下: DEtools[phaseportrait ( diff(y(x), x =x/yly(x), x-1.1 y(-1)=1].(-1)=0][y(-1)=-1]l dirgrid=33, 33 Arrows=LINE Axes= NORMAL)#其余三个只需把初值和函数还一下即可 1)
（2），（3），（4）的证明和（1）相同（略） 4．提示：代φ(x),ψ(x)到微分方程验证即可。 5．证明：对条件中的不等式进行求导有： ( ) ( ) ( ) ' f t ≤ f t g t ，∵ f (t), g(t)在区间上是非负 连续的，∴ f (x) 是单调减少的，即在区间上有最大值 M。现在再求最大值 对 ( ) ( ) ( ) ' f t = f t g t 积分，则得 ∫ = t M C g s ds 0 exp( ( ) ) ，因此 ∫ ≤ t f t C g s ds 0 ( ) exp( ( ) ) 6．提示：和 3 题的证明类似。应用定理及 f (x, y) 偏导存在 7．证明：假设在 0 x ≥ x 一侧有两个解 ( ) ( ) 1 2 y x 和y x ，且 1 2 y > y ，则由 f (x, y) 是 y 的非 增函数，因此 ( , ) ( , ) 0 f x y1 − f x y2 ≤ ，即( ) 0 ' y1 − y2 ≤ ，可以得出 1 2 y − y 是非增的，而 在 0 x 点有 y1 (x0 ) − y2 (x0 ) = 0 ，这与 ( ) ( ) 1 2 y x > y x 矛盾，假设不成立，只有一解 8．提示：作逐步逼近函数序列， ( ) ( ) 0 φ x = f x ( ) ( ) ( , ) ( ) , 0,1,2,.... 1 = + = + ∫ x f x K x d n b a φ n λ ξ φ n ξ ξ 9．提示：首先判断出满足唯一性条件的 h,L 和 M，由 0.05 ( 1) ( ) ( ) 1 < + − ≤ n+ n n h n ML x x ！ φ φ 判 断出要进行的迭代次数 n，应用 Picard 迭代即可，答案是 3 7 11 15 59535 1 2079 2 63 1 3 1 φ(x) = x + x + x + x 返回目录 答案 1.3 1 我们还是在以原点为中心的矩形 R={(x,y)| x ≤ 1, y ≤ 1}内画方程的向量场和积分曲线： 程序如下：DEtools[phaseportrait] ([diff(y(x),x)=x/y],y(x),x= -1..1, [[y(-1)=1],[y(-1)=0],[y(-1)= -1]], dirgrid=[33,33], Arrows=LINE, Axes=NORMAL);#其余三个只需把初值和函数还一下即可 1）
\、 5 2) 5 、1
2） 3）
15 35 4) Y10-05 35 777721177777 21)fxy2xy显然在x平面上连续f(xy1)-f(x,y2)=y1-y2满足局部 Lipschitz条件 2)该方程的等倾线方程为:2x-y=c其中c为常数
4） 2 1) f(x,y)=2x-y 显然在 xy 平面上连续, f(x, y1)- f(x, y2) = y1- y2 满足局部 Lipschitz 条件 2）该方程的等倾线方程为：2x-y=c 其中 c 为常数 i) c=1