《偏微分方程》第一章绪论 1.1.2叠加原理 (1.1.12) 通常把叠加原理叙述为以下两种类型: (1)设wz满足L=f,t=1,2,……,m,其中m为有 限数或+∞,则它们的线性组合飞 c;必满足方程L ∑c;:.当出现无穷求和时,则要求级数收敛且满足L中出现的 求偏微商与求和可交换次序的条件 (2)设a(x;y)满足L=f(x;y),其中x=(x1,x2,……,xn) 是自变量,而y=(m1,y,…,m)是参数,又设积分 U() u(r; y)dy 收敛且满足中出现的求偏微商与求积分可交换次序的条件,则 U(x)满足方程 LU( f(; y)d
《偏微分方程》第一章 绪论
《偏微分方程》第一章绪论 21定解问题 1.一个偏徼分方程通常有无穷多个解 2.方程的解必须要满足的事先给定的条件叫做定解条件 3.一个方程配备上定解条件就构成一个定解问题 4.常见的定解条件有初始条件(也叫 Cauchy,条件和边鬼 条件两大类,相应的定解问题叫初值问题(或 i Cauchy间 题)和边值问题 5.初值问题或边值问题的解或称古典解是指这样的函数 它在区域的内部具有方程中出现的一切连续偏微商 本身在区域的闭包上连续(有时根据具体问题的性质或 边界条件的类型也要求有关的偏微商连续到边界)它 办程并当时间变量趋于初始时刻时或空间效蛋 更区域的边界时它(有时及其有关的偏微商)连续地 给定的初始值或边界值
《偏微分方程》第一章 绪论 • 2.1定解问题 1. 一个偏微分方程通常有无穷多个解 2. 方程的解必须要满足的事先给定的条件叫做定解条件 3. 一个方程配备上定解条件就构成一个定解问题 4. 常见的定解条件有初始条件(也叫Cauchy 条件)和边界 条件两大类, 相应的定解问题叫初值问题(或Cauchy问 题)和边值问题 5. 初值问题或边值问题的解或称古典解是指这样的函数: 它在区域的内部具有方程中出现的一切连续偏微商,而 本身在区域的闭包上连续(有时根据具体问题的性质或 边界条件的类型,也要求有关的偏微商连续到边界), 它 满足方程,并且当时间变量趋于初始时刻时或空间变量 趋于区域的边界时它(有时及其有关的偏微商)连续地 取到给定的初始值或边界值
《偏微分方程》第一章绪论 例1.2.1考虑在区间[0,上张紧的均匀弦的微小横振动 tt n2um=0.0<x<l,t>0 (0,t)=0,a(,t)=0,t≥0 (x,0)=9(x),t(x,0)=v(x),0≤x≤l, 其中,α(x,t)表示在时刻t质点的在垂直于线段0l(位于x轴 上)方向上的位移,弦的两端固定,即(0,t)=(l,t)=0,弦的 初始位移为φ(x),初始速度为v(x),弦不受外力.其中,a>0 是波的传播速度
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《偏微分方程》第一章绪论国 例1.2.4 △u=0,(x,y,2)∈ u(x,y,2)=g(x,y,2),(x,3,2)∈O92 上面的边值问题是第一类边值问题,也叫 Dirichlet问题,即 给出未知函数在边界上的值(称为第一类边界条件).另外,还有 第二类边值问题,也叫 Neumann问题,即给出未知函数在边界上 的法向微商的值(称为第二类边界条件);还有第三类边值问题, 也叫 Robin问题,即给出未知函数在边界上的法向微商和本身的 线性组合的值(称为第三类边界条件).在本书后文中,读者会多 次见到这些边界条件和边值问题
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《偏微分方程》第一章绪论 1.2.2定解问题的适定性 1.存在性 2.唯一性 3.稳定性 对定解问题适定性的讨论是偏微分方程理论 研究的主要丙容,也是本教材的主要内容 它体现在对每个方程或方程组的具体的分析 中 我们也将讨论解的光滑性、有界性和 它性质
《偏微分方程》第一章 绪论 • 1.2.2 定解问题的适定性 1. 存在性 2. 唯一性 3. 稳定性 • 对定解问题适定性的讨论是偏微分方程理论 研究的主要内容,也是本教材的主要内容. • 它体现在对每个方程或方程组的具体的分析 中. • 另外, 我们也将讨论解的光滑性、有界性和 其它性质