《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 2.1 般理论 2.1.1特征曲线与积分曲面 一阶拟线性方程具有形式 a(, y, u)ux+b(, y, u)uy =c(a, y, u), (2.1.2) 其中,=(x,y).称方向(a(x,v,2),b(x,y,2),c(x,y,2))是 方程(2.1.2)的特征方向,它在R3或R3中的区域!上定义了 个向量场.我们称处处与方向(a,b,c)相切的曲线是方程(2.12) 的特征曲线.设特征曲线的参数式为 =x(t),y=v(t),2=2(t),t∈R或R中某区间
《偏微分方程》第2章 一阶拟线性方程
《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 则沿特征曲线显然成立下式: dr dz a(x,y,2)b(x,y,2)c(x,3,2) 即 da da dz dt =a(x,,2), dt =b(x,y,2), dt =c(x,y,2).(2.1.3) 称上式是方程(2.1.2)的特征方程.由(2.1.2)可知,积分曲面 2=(x,y)(即(21.2)的解)就是处处与特征方向相切的曲面 特征曲线与积分曲面有下述关系: 定理2.1.1若特征曲线γ上一点P(x0,0,20)位于积分曲 面S:2=(x,y)上,则γ整个位于S上
《偏微分方程》第2章 一阶拟线性方程
《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 由积分曲面的定义知,过积分曲面上每一点有一条特征曲线 于是,根据此定理,该特征曲线完全位于积分曲面内,所以积分 曲面S是特征曲线的并,即过S上每一点都有一条包含在S中 的特征曲线.反之,如果曲面S:z=u(x,y)是特征曲线的并, 则它必是积分曲面
《偏微分方程》第2章 一阶拟线性方程
《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 2.1.2初值问题 以上的讨论使我们对拟线性一阶方程(21.2)的通解有一个 形象的认识,即积分曲面是特征曲线的并.以此为基点,讨论方程 (2.12)的初值问题(也叫 Cauchy问题).同常微分方程一样,它 是一阶方程的基本问题 设有空间曲线 :(x,y,2)=(f(s),g(s),h(s)),s是参数 则方程(2.1.2)的初值问题的提法是:求方程(2.1.2)的解z= (x,y),使满足h(s)≡w(f(s),9(s),即积分曲面过已知曲线
《偏微分方程》第2章 一阶拟线性方程
《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 则方程(21.2)的初值问题的提法是:求方程(2.1.2)的解2= (x,y),使满足h(s)≡(f(s),9(s),即积分曲面过已知曲线7 在许多情形,变量y表示时间变量,而x是空间变量.于是提出 y=0时刻的初值u(x,0)=h(x),而寻求满足此初始条件的方程 (2.1.2)的解是一个常见且自然的初值问题.这时,空间曲线的 参数式是x=s,y=0,2=h(x),即曲线在x2平面上,且以x 为参数
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