数分方程》第3章波动方程 本章讨论波动方程 ut-a2△u= 的初值问题和初边值问题.其中,a>0是常数;t>0,x∈g, CR是开集.=t(xt)是未知实值函数,f=f(x,t) 是已知实值函数△是关于空间变量x=(x1,x2,…,xn)的 Laplace(拉普拉斯)算子
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 3.1一维波动方程的初值问题 在所有双曲型方程中,最简单的是一维波动方程 utt-aurr=0, 2 E(b,c)CR, t>0 (3.1.1) 其中,a>0是常数,a=u(x,t).在物理上,表示振动弦上质 点x在时刻t时的位移.所以,一维波动方程又叫弦振动方程
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 3.1.1 d'Alembert公式反射法 先考察初值问题 ux=0,x∈R1,t>0 (3.12) a(x,0)=9(x),at(x,0)=v(x),x∈R1 u(a, t p(+at)+/ [v(a-2as+at)-ap'(2-2as at)]ds C+at =9(x+at)+ L(y)-ap(y)] t x十at =5[=(x+at)+(x-at)+20/-m()d (3.15)
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 称此式为 d'Alembert(达朗贝尔)公式,它表示初值间题(3.1.2) 的形式解.直接验证可知,当∈C2,∈C1时, d'Alembert 公式(.1.5)所表示的函数a(x,t)满足间题(3.12)的方程和初 始条件,即题(.12)的解存在且由 d'Alembert公式(3.1.5) 表示,由求解过程知,回题(3.1.2)的任何解都由d' Alembert公 式表示,所以,解唯一,另外,由d^ Alembert公式可直接得到解 在有限时间,T内的估计式 sup |u(, t)l s sup lp(e)I+T sup |o(.)I, (3.1.6) rt 其中,x∈1,t∈回0,].为考察解对初值的连续依赖性(或称 解对初值的稳定性),设有下面两个初值间题 ult-a2ulrx=0.rEal t>O 1(x,O)=91(x),a1,t(x,0)=v1(x) 2tt-a2u2,x=O,x∈正1,t>O a2(x,O)=92(x),2,t(x,0)=v2(x)
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 定理311(定性)若y(x)∈C2(1),o(x)∈C(R) 且它们有界,则初值问题(31.2)的古典解存在唯一,且在有限时 问内是一致稳定的(按连续函数空问的范数).从而,问题(312) 是适定的 例311求解半直线R+={x>0}上的初边值问题 ut-lrx=0,x∈R+,t>0 u(a, 0)=g, ut(r, 0)=h,IER+ (318 u(0,t)=0,t≥0 其中,g,h是已知函数,满足9(0)=h(0)=0
《偏微分方程》第3章 波动方程