第7章特征理论偏微分方程组 ■7.1.1弱间断解与弱间断面 设!cRN(N≥2)是连通区域,在!上给定二阶线性 方程 d- dr.dx +∑ )-+a()a=f(x),(7.1.1) i=1 i=1 其中,a3(x),a(x),a(x)及f(a)是x的连续函数.另外,设 有中的N-1维超曲面S.它的方程是g(x)=0.S把9分 为两个不相交的区域1和!2(图7.1) 定义71.1若(x)∈C1(2nC2(1US)nC2(2US) 且在!1∪中满足方程(71.1),而且至少有u的一个二阶偏嶶 商在跨越S时,在S上处处有第一类问断,则称是方程(7.1.1) 的弱间断解,S叫作弱问断面
第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 7.1.1 弱间断解与弱间断面
第7章特征理论偏微分方程组 ■例子 考虑弦振动方程 工 x∈R,t>0 已知它的通积分是x,t)=F(x-at)+G(x+at),其中,F,G 是任意的二阶连续可微函数.若取G≡0,取 F(a-at) (x-at2-12,当|x-at≤1时 当|x-at|>1时, 刂(x不是古典解,但它是弱间断解
第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 例子 考虑弦振动方程 则 不是古典解，但它是弱间断解
第7章特征理论偏微分方程组 ■7.1.2特征方程与特征曲面 设光滑曲面國:2)=0(D2≠0是方程(7.1.1)的弱间断面。 可以推出它应满足的条件为下式在國上处处成立 N ∑a(x)D d do (7.1.4) i,j=1 定义7.1.2方程(7.1.4)叫做方程(7.11)的特征方程,若 在S上(71.4)式处处成立,则称S:(x)=0是(71.1)的特 征曲面;若在点x0处的方向(a1,a2,…,aN)满足 i(0 (7.1.5) 、j=1 则称该方向是方程(7.1.1)在x0点的特征方向
第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 7.1.2 特征方程与特征曲面 设光滑曲面 是方程（7.1.1)的弱间断面。 可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立
第7章特征理论偏微分方程组 ■方程特征曲面的例子 例7.1.1三维热传导方程 ut=a(urr +uyy+uzz) 例712RN(N≥2)中调和方程 ∑ k=1 例7.1.3二维波动方程 ulti Urr
第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 方程特征曲面的例子
第7章特征理论偏微分方程组 ■7.2方程组的特征理论 为书写简便,并能较直观地阐述问题,我们考虑两个自变量 的一阶线性偏微分方程组 m+∑m+∑吗+=01=1.2 ,…,m,(7.2.1) 其中,a3,b3,c2都是区域!中(x,t)的充分光滑的函数.若 引入m维列向量 和m×m维矩阵A=(a),B=(b3),则方程组(72.1)与下 列向量方程等价: Ut+AUr+ BU+C=0 (72.2)
第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 7.2 方程组的特征理论