第6章变分法与边值间题 通过求解一个相应的泛函的 极小函数而得到偏微分方程边值问 题的解,这种理论和方法通常叫作 偏微分方程中的变分原理,简称变 分方法。本章通过求解一类边值问 题和特征值问题简单介绍该方法的 理论及其应用
第6章 变分法与边值问题 通过求解一个相应的泛函的 极小函数而得到偏微分方程边值问 题的解，这种理论和方法通常叫作 偏微分方程中的变分原理，简称变 分方法。本章通过求解一类边值问 题和特征值问题简单介绍该方法的 理论及其应用
第6章变分法与边值间题 6.1边值问题与算子方程 6.1.1薄膜的横振动与最小位能原理 考虑张在平面有界区地!上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小横振动,薄膜的边缘固定在上。利用微元分析法可得薄膜的总位能 为 E(u)=U-W 6.1.1) (up +u:)drdy-// F(a, y)udrdy 其中,T表示张力,F(xy)表示外力面密度,u(xκy)表示薄膜在点(x,y) 出垂直于平面方向的位移 由于薄膜边缘固定,叫y)m=0可见,(611)是定义在容许 K={u∈CH(m)la=0上的泛函
第6章 变分法与边值问题 • 6.1 边值问题与算子方程 • 6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理 考虑张在平面有界区域 上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小横振动，薄膜的边缘固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的总位能 为 其中，T 表示张力，F(x,y) 表示外力面密度，u(x,y) 表示薄膜在点 (x,y) 出垂直于平面方向的位移。 由于薄膜边缘固定, 故 可见, (6.1.1) 是定义在容许 函数类 上的泛函
第6章变分法与边值间题 类似于5.2.5小节中对 Dirichlet原理的讨论,可知泛函 (6.1.1)的极小函数就是 Poisson方程 Dirichlet问题 Au=F,x∈ 6.1.2) =0,x∈a0 的解;反之边值问题(6.1.2)的解u也是泛函(6.1.1)的极小函 数,即 wen 于是,我们可以用变分方法得到边值问题(6.1.2)的解.值得注 意的是,为了保证极小函数的存在性,有时必须将容许函数类扩大 此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解
第6章 变分法与边值问题 类似于5.2.5小节中对Dirichlet原理的讨论，可知泛函 （6.1.1）的极小函数就是Poisson方程Dirichlet问题 的解；反之边值问题（6.1.2)的解 u 也是泛函(6.1.1)的极小函 数,即 于是,我们可以用变分方法得到边值问题(6.1.2)的解.值得注 意的是, 为了保证极小函数的存在性,有时必须将容许函数类扩大. 此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解
第6章变分法与边值问题 °6.1.2正算子与算子方程 我们称满足等式(Au,v)=(Av,u)的算子A为对称算子。 设A是定义在 Hilbert空间H的某一线性稠密子集DA上的线性算子 若对D任意元素u,有Aa,)≥0号成立当且仅当u=0,则称 A是正算子。 Au=f(ar). (6.15) 定理6.1.1(唯一性)若A是正算子,则方程(61.5)至多 有一个解∈DA 定理6.12(等价性)设A是对称正子,若方程(6.1.5)在 DA上有解v,则必是泛函 F(u)=(Au, u) (6.1.6) 的褆小函数;反之,若四∈DA是F(u)的裰小函数,则有
第6章 变分法与边值问题 • 6.1.2 正算子与算子方程 我们称满足等式（Au,v)=(Av,u) 的算子 A 为对称算子。 设 A 是定义在 Hilbert 空间 H 的某一线性稠密子集 上的线性算子， 若对 中的任意元素 u，有 且等号成立当且仅当 u=0, 则称 A 是正算子
第6章变分法与边值间题 应用 设?是(m≥2)中一有界区域,对于位势方程 △=f(x),r∈!, (6.1.7) 考虑三种基本边值问题的边界条件 (1) Dirichlet问题,ulan=0 ellmann 问题 (3)Rn题(份+o(rl)lm=0.m()≥md 取 Hilbet空间为Lg
第6章 变分法与边值问题 • 应用 取 Hilbet 空间为