第8章广义函数与基本解 81基本空间 8.1.1引言 偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高,这不仅 仅常常不合实际问题的要求,而且影响理论的进一步发展 我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这 首先需要扩充函数地概念。 · Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但 是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用 范围,从而需要扩充函数的概念 当物理学家Dac为了量子力学的需要引入函数() 时 数学和物理的紧密关系便出现了裂痕
第8章 广义函数与基本解 • 8.1 基本空间 8.1.1 引言 • 偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高，这不仅 仅常常不合实际问题的要求，而且影响理论的进一步发展。 我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这 首先需要扩充函数地概念。 • Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但 是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用 范围，从而需要扩充函数的概念。 • 当物理学家Dirac为了量子力学的需要引入函数 时， 数学和物理的紧密关系便出现了裂痕
第8章广义函数与基本解 物理学家原本定义的5函数是这样的“函数” 0,x≠0 8.1.1 d(a)d z= 8.1.2) 由通常的函数的定义,(81.1)式不是函数;由 Lebesgue积分的 概念,(8.1.1)与(8.1.2)矛盾.但从物理的观点看,(x)的意义 十分明确,它表示质量等于1个单位的质点置于x=0处(其它 处无质量)时,沿x轴的密度分布函数
第8章 广义函数与基本解 物理学家原本定义的 函数是这样的“函数”：
第8章广义函数与基本解 物理学家在20世纪30年代就广泛使用函数讨论 问题,并获得相当的成功。直到20世纪40年代末, Schwarz等人建立了广义函数基础理论,才为这类奇异 “函数”建立了严格的数学理论。仅从以上三个方面看 扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的 定义
第8章 广义函数与基本解 物理学家在20世纪30年代就广泛使用 函数讨论 问题，并获得相当的成功。直到20世纪40年代末， Schwarz等人建立了广义函数基础理论，才为这类奇异 “函数”建立了严格的 数学理论。仅从以上三个方面看， 扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的 定义
第8章广义函数与基本解 ·8.1基本空间 8.1.1引 定义8.1.1称确定在某些具体的画数空间上的线性连续泛 画为广义函数,这些具体的函数空间叫基本空间.形如(8.1.4)的 广义函数,即通过一个积分建立的广义函数,叫正则广义函数, 其它的叫奇异广义画数. 附注奇异广义函数是存在的.例如δ函数.设原点在区域 内.6(x)函数的定义是 6(x),2(x)=y0).w∈C( (8.1.5)
第8章 广义函数与基本解 • 8.1 基本空间 8.1.1 引言
第8章广义函数与基本解 r=(x1,x2,…,xN)∈R,=(1,52,…,EN)∈R都 是N维自变量 a=(a1,a2,…,aN)是多重指标,其中,a(2=1.2,…,N) 是非负整数; =a1+a2+……+aN, 1c2 a N 2…s x2=∑n2,x5=x161+x22+…+xN N:E N,符号D2 N 在自变量比较明显的情况下,常常省去D2和D的下标而 简记为D,把D2,和D,写作D
第8章 广义函数与基本解 2. 记号