约束极值问题的最优性条件 约束极值问题 最优性条件
约束极值问题的最优性条件 一 .约束极值问题 二.最优性条件
约束极值问题 min f(r) h2(x)=0i=1,2,…,m st g1(x)≥0j=1,2, 记l(x)=((x),h2(x),…,bn(x), g(x)=(g(x),g2(x),…,g(x)) 则约束极值问题可记为minf(x) h(x)=0 S。t g(x)≥0 令Q={x|(x)=0,g(x)≥0},称Q为此约束极值问题 的可行域
一 .约束极值问题 = = = g x j l h x i m s t f x j i ( ) 0 1,2, , ( ) 0 1,2, , . . min ( ) 令Q = { x|h(x) = 0, g(x) 0}, 称Q为此约束极值问题 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) , ( ) ( ( ), ( ), , ( )) , 1 2 1 2 T l T m g x g x g x g x h x h x h x h x = 记 = 则约束极值问题可记为 = ( ) 0 ( ) 0 . . min ( ) g x h x s t f x 的可行域
(x)≥0 h(x)=0分1-1(x)≥0 ∴约束极值问题也可记为 min f(x) St.g(x)≥0
− = ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 h x h x h x i i i 约束极值问题也可记为 . . ( ) 0 min ( ) s t g x f x
最优性条件 min f(r) st.g(x)≥0 可行域为Q={x|g(x)≥0} 1可行方向和积极约束 可行方向:设x"∈Q,d为一个向量。如果存在实数元>0, 使得对任意的∈[0,A有x"+∈Q,则称d为x处的 个可行方向。 g1(x)=0 g2(x)=0
二.最优性条件 一个可行方向。 使得对任意的 有 则 称 为 处 的 可行方向：设 ，为一个向量。如果存在实 数 ， 0 0 0 [0, ] , 0 x d Q d x x Q d + g1 (x) = 0 g2 (x) = 0 0 x 1 x 1 d 1 d 2 d 2 d 1.可行方向和积极约束 . . ( ) 0 min ( ) s t g x f x (1) 可行域为Q = { x| g(x) 0}
积极约束设点x∈Q,对于不等式约束g;(x)≥0,如果 g;(x)=0,则称g(x)≥0是点x处的积极约束 记I(x)={ig;(x)=0,1≤i≤l},称I(x)为点x处的积极 约束指标集。 例设g1(x)=x2-√2x2≥0,g2(x)=1-x2-x2≥0, √2 g3(x)=x1≥0。令x=( 求点x的积极约束 指标集。 解:、210, g2(x)=1-()2-(
则称 是点 处的积极约束。 积极约束：设点 对于不等式约束 ，如果 g x g x x x Q g x i i i ( ) 0, ( ) 0 , ( ) 0 = 约束指标集。 记 I(x) = {i| gi (x) = 0,1 i l},称 I(x)为 点x处的积极 指标集。 。令 ，求点 的积极约束 例设 g x x x x g x x x g x x x T ) 2 2 , 2 2 ( ) 0 ( ( ) 2 0, ( ) 1 0, 3 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = = = − = − − 解： ) 0, 2 2 2 ( 2 2 ( ) 2 g1 x = − = ) 0, 2 2 ) ( 2 2 ( ) 1 ( 2 2 g2 x = − − =