个函数()的长度为 I5 V/=[/Odt 而许瓦兹不等式成立: [/,g]s|f|·|g f(tg(t)dt<f()dtg(t)dt 这样可令 [f,g] COS 是f,g间的夹角余弦, 则如果∫,g]=0称为/与g正交
一个函数f(t)的长度为 [ , ] 0 . , , [ , ] cos ( ) ( )d ( )d ( )d [ , ] : || || [ , ] ( )d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 则如果 称为 与 正交 是 间的夹角余弦 这样可令 即 而许瓦兹不等式成立 f g f g f g f g f g f t g t t f t t g t t f g f g f f f f t t T T T T T T T T = = = = - - - -
而在区间[-m2,m2]上的三角函数系 1. cos ot. sinat. cos 2 at. sin 2 at cos na, sin nat, 是两两正交的,其中a=2m/7,这是因为 cos na和 Isin no都可以看作是复指数函数eot 的线性组合.当n≠m时, Not]mat T Fr ee dt j(n-m)B d=0 2丌Jz 其中B=e2则0=70k 2 dt d e T 2兀
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系 1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ..., cos nwt, sin nwt, ... 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数e jnwt 的线性组合. 当nm时, p p p w p p p w w d 2 ,d 2 d , d 2 e d 0 2 e e d 2 j j j ( ) 2 T t T t T t t T t n t m t n m T T = = = = = = - - - 其中 则
这是因为 (n-m)6 d e (n-m) j(n-m) (n-m)丌 e e j(n-m)T j(n-m) 1]=0 j n-m)ej(n-m)[ej2(n-m)T
这是因为 e [e 1] 0 j( ) 1 [e e ] j( ) 1 e j( ) 1 e d j ( ) j2( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) - = - = - - = - - = - - - - - - - - - p p p p p p p p n m n m n m n m n m n m n m n m n m
由此不难验证 cosnot dt=0 (n=1,23,…) sin not dt=0 (n=1,2,3,)2 sin not cos mat dt=0 (n, m=1, 2,3, . . sin not sin mot d t=0(n,m=1,2,3,…,n≠m) cos not cos mot d t=0(n,m=1,2,3,…,n≠m)
由此不难验证 cos cos d 0 ( , 1,2,3, , ), sin sin d 0 ( , 1,2,3, , ), sin cos d 0 ( , 1,2,3, ), sin d 0 ( 1,2,3, ), cos d 0 ( 1,2,3, ), 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n t m t t n m n m n t m t t n m n m n t m t t n m n t t n n t t n T T T T T T T T T T = = = = = = = = = = - - - - - w w w w w w w w
而1, cos at, sinat,… cos not, sin nat,的函数 的长度计算如下: 12dt=√T 1+cos 2not cos not cos notd t d t Isin nol =sinnott= 1-coS 2not dt= V2
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...的函数 的长度计算如下: 2 d 2 1 cos 2 sin sin d 2 d 2 1 cos 2 cos cos d 1 1 d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T t n t n t n t t T t n t n t n t t t T T T T T T T T T T T = - = = = + = = = = - - - - - w w w w w w