数学物理方法 幂级数展开
数学物理方法 幂级数展开
幂级数展开 复级数 ■幂级数和泰勒展开 ■双边幂级数和罗朗展开 ■孤立奇点 ■本章小结
幂级数展开 ◼ 复级数 ◼ 幂级数和泰勒展开 ◼ 双边幂级数和罗朗展开 ◼ 孤立奇点 ◼ 本章小结
复级数 ■复数项级数 ■形式 i=1 ■通项:u;为复数 ■部分和:Sn=nu 和:s=1ims ■余项: u ■收敛:存在 >0,N(),s.t.n>N()=>|s-sn| ■绝对收敛 定义:s u;|收敛 性质:绝对收敛=>收敛
复级数 ◼ 复数项级数 ◼ 形式： i=1 ui ◼ 通项：ui 为复数 ◼ 部分和：sn = n ui ◼ 和：s = lim sn ◼ 余项：rn = s - sn = un+1 + un+2 + … ◼ 收敛：s 存在 • >0, N( ), s.t. n>N( ) => |s-sn|< ◼ 绝对收敛 • 定义：s = i=1 |ui |收敛 • 性质：绝对收敛=>收敛
复级数 ■收敛性判别法 例 ■级数 判断几何级数的敛散性 0 a 0 乙i=1 ■比值法 解: 1.比值法 m <1,绝对收敛; q|<1,绝对收敛; 5,不确定 q|=1,不确定 >1,发散 q|>1,发散 ■根值法 2.根值法 1/k qlm a llk <1,绝对收敛; 1,不确定 q|<1,绝对收敛 1,发散。 q|=1,不确定 1,发散
复级数 ◼ 收敛性判别法 ◼ 级数 • ∑i=1 ui ◼ 比值法 • = limk |uk+1/uk| • <1，绝对收敛； • =1，不确定； • >1，发散。 ◼ 根值法 • = limk |uk| 1/k • <1，绝对收敛； • =1，不确定； • >1，发散。 ◼ 例： • 判断几何级数的敛散性 ∑n=0 a0 qn ◼ 解： • 1.比值法 • = |q| • |q|<1，绝对收敛； • |q|=1，不确定； • |q|>1，发散。 • 2.根值法 • =|q|limk |a0| 1/k = |q| • |q|<1，绝对收敛； • |q|=1，不确定； • |q|>1，发散
复级数 ■复函项级数 ■形式:∑=1u(z) ■通项:u(z) ■部分和函数:sn(z)=∑11u;(z) 和函数:s(z)=1imsn(z) 收敛域:{z|s(z)存在 定义 0,N(,z),s.t.n>N(,z) (z)|< 致收敛性 定义 0,N(),,s.t.n>N() S(Z s(z) 性质: 各项连续和连续,和的积分=各项积分之和; 各项可导和可导,和的导数=各项导数之和
复级数 ◼ 复函项级数 ◼ 形式：∑i=1 ui (z) ◼ 通项：ui (z) ◼ 部分和函数：sn (z) = ∑i=1 n ui (z) ◼ 和函数：s(z) = lim sn (z) ◼ 收敛域：{ z|s(z)存在 } • 定义： >0, N( ,z), s.t. n>N( ,z) |s(z)- sn(z)|< ◼ 一致收敛性： • 定义： >0, N( ),, s.t. n>N( ) |s(z)- sn(z)|< • 性质： • 各项连续 和连续，和的积分=各项积分之和； • 各项可导 和可导，和的导数=各项导数之和