数学物理方法 留数定理
数学物理方法 留数定理
留数定理 ■留数定理 ■留数定理的应用 ■本章小结
留数定理 ◼ 留数定理 ◼ 留数定理的应用 ◼ 本章小结
留数定理 ■留数 引入 问题:如何高效地计算解析函数的围道积分 方法:由复连通域柯西定理,解析函数的围道积分等于沿围道内奇 点邻域积分之和。 定性定义 复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果; 当z0为f(z)的解析点时,结果为零,什么都没留下 当z0为f(z)的孤立奇点时,结果通常为一个非零值; 定量定义 Res f(=o) 2zi f(=)1=
留数定理 ◼ 留数 ◼ 引入 • 问题：如何高效地计算解析函数的围道积分？ • 方法：由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇 点邻域积分之和。 ◼ 定性定义 • 复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果； 当z0为f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下； 当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值； ◼ 定量定义 f z dz i f z z−z = = | | 0 0 ( ) 2 1 Re s ( )
留数定理 留数的计算 般情况 孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数; Res f(b)=a ■证明 f(=) nE-o0 Re s f(b) f(=d 21 =E 2ni= a 2丌
留数定理 ◼ 留数的计算 ◼ 一般情况 • 孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数； • Res f(b) = a-1 ◼ 证明 n n n f (z) = a (z −b) =− f z dz i f b z−b = = | | ( ) 2 1 Re s ( ) a z b dz n z b n n ( ) 2 i 1 | | = − − = =− 1 1 2 i 2 i 1 = a− = a−
留数定理 ■极点情况 ·m阶极点的留数由下面的公式确定 Re s f(b)= lim =>b(m-1). d=m-7lC b)"f(=) ■证明 f )=a m +1m(-b)m+ +…+a1(z-b)+a0+(2-b)+… (z-b)f(2)=am+am1(z-b)+…+a1(-b)m+a(z-b+a(2-b)m (z-b)f()=0+(m-l)a1+11a0(=-b)+(m+a(=-b)2+ d m-1
留数定理 ◼ 极点情况 • m阶极点的留数由下面的公式确定 ( z- b)m f (z) = a−m + a−m+1 (z −b) ++ a−1 (z −b) m−1 + a0 (z −b) m + a1 (z −b) m+1 + ◼ 证明 [( ) ( )] ( 1) 1 Re s ( ) lim 1 1 z b f z dz d m f b m m m z b − − = − − → ！ − + + = + − − + − + 2 1 0 1 m m-1 m-1 ( ) 2! ( 1)! ( ) 1! ! [(z - b) ( )] 0 ( 1)! dz d a z b m a z b m f z m a f (z) = a−m(z −b) −m + a−m+1 (z −b) −m+1 ++ a−1 (z −b) −1 + a0 + a1 (z −b) +