《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第八章 分离变数法

数学物理方法 第八章分离变数法

数学物理方法 第八章 分离变数法

分离变数法 齐次演化问题的求解 齐次稳定场问题的求解 ■非齐次问题的求解 ■多变量推广 本章小结

分离变数法 n 齐次演化问题的求解 n 齐次稳定场问题的求解 n 非齐次问题的求解 n 多变量推广 n 本章小结

齐次演化问题的求解 ■定解问题的求解思路II ■原则:化未知为已知 ■方法:分析和综合 ■步骤:分偏为常,分别求解,合成定解 典型问题的求解 分析过程 例题 其它问题的求解 ■边界条件的变化 ■泛定方程的变化

齐次演化问题的求解 n 定解问题的求解思路 II n 原则：化未知为已知 n 方法：分析和综合 n 步骤：分偏为常，分别求解，合成定解 n 典型问题的求解 n 分析过程 n 例题 n 其它问题的求解 n 边界条件的变化 n 泛定方程的变化

典型问题的求解 u,=au.0<x<L 定解问题 uro=0, urL=0 l=0=(x 未知函数分离(x)=X(x)() TX=aTX 。泛定方程分离a7x=ax T"/(a27)=X"/X=-4=-02 7(1)X(0)=7()X(L)=0 边界条件分离X(0)=X()=0 分离结果 X"+o2X=0 T"+a2a2T=0 X(0)=X(L)=0

典型问题的求解 n 定解问题               | ( ) | 0, | 0 , 0 0 0 2 u x u u u a u x L t x x L t xx  u(x,t)  X (x)T(t) (0) ( ) 0 ( ) (0) ( ) ( ) 0     X X L T t X T t X L 2 2 2 2 2 2 '/( ) "/ ' " ' "        T a T X X a TX a TX a TX T X T X a TX l 未知函数分离 l 泛定方程分离 l 边界条件分离 l 分离结果 ' 0 (0) ( ) 0 " 0 2 2 2           T a T X X L X X  

典型问题的求解 分离结果的求解1x0=XCD=0 T"+a2T=0 X(x)=Ccos ox+Dsin ox 。空间方程解出X0)=C=0 X(L=DsinOL=0 非零解条件 sinO=o OL=kx→=kr/L、k∈N 非零解 Xk(x)=sin @kx, Ok=kT/L 。时间方程解出7(0)=4exp(o2a2

典型问题的求解 ( ) exp( ) 2 2 T t A a t k  k k ( ) sin 0 (0) 0 ( ) cos sin       X L D L X C X x C x D x    Xk (x)  sink x,k  k / L L k k L k N L      / , sin 0      l 空间方程解出 l 非零解条件 l 非零解 l 时间方程解出 l 分离结果的求解 ' 0 (0) ( ) 0 " 0 2 2 2           T a T X X L X X  