常微分方程 复习
常微分方程 复习
常微分方程 微分方程的一般概念 ■线性常微分方程的性质 一阶线性常微分方程 二阶线性常系数微分方程 ■二阶线性变系数微分方程
常微分方程 ◼ 微分方程的一般概念 ◼ 线性常微分方程的性质 ◼ 一阶线性常微分方程 ◼ 二阶线性常系数微分方程 ◼ 二阶线性变系数微分方程
分方程的一般概念 ■例子 ■定义 ■联系自变量和未知函数及其导数的等式 分类 ■按自变量的个数,分为常微分方程和偏微分方程; ■按未知涵数及其导数的次数,分为线性微分方程和非 线性微分方程; ■按方程中未知函数导数的最高阶数,分为一阶、二阶 和高阶微分方程
微分方程的一般概念 ◼ 例子 ◼ 定义 ◼ 联系自变量和未知函数及其导数的等式。 ◼ 分类 ◼ 按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程； ◼ 按未知函数及其导数的次数，分为线性微分方程和非 线性微分方程； ◼ 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程
线性常微分方程 一般形式 ■aoy(+a1y(n1)+…+any+any=f(X) 其中未知函数的系数可以是常数,也可以是x的函数。 分类 按自由项f(X)是否为零,分为齐次和非齐次 叠加原理 ■齐次方程任意两个解的线性组合也是解; ■非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也 是解
线性常微分方程 ◼ 一般形式 ◼ a0y (n)+a1y (n-1)+‥‥+a n-1y’+any=f(x) ◼ 其中未知函数的系数可以是常数，也可以是x的函数。 ◼ 分类 ◼ 按自由项f(x)是否为零，分为齐次和非齐次。 ◼ 叠加原理 ◼ 齐次方程任意两个解的线性组合也是解； ◼ 非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也 是解
阶线性常微分方程 般形式 aoy+a1y=F(x)或y+py=f(×) ■齐次方程的通解 Y(x)=Cexp[-∫pdx] ■非齐次方程的特解 Y(x)=C(xexp[∫pdx] 其中C(X)=∫[f(X)exp(pd×)]dx ■非齐次方程的通解 y(x)=y(X)+y(×) 例题
一阶线性常微分方程 ◼ 一般形式 ◼ a0 y’+a1y= F(x) 或 y’+ p y = f(x) ◼ 齐次方程的通解 ◼ y(x) = C exp[-∫p dx ] ◼ 非齐次方程的特解 ◼ yp(x)= C(x) exp[-∫p dx ] ◼ 其中 C(x) = ∫[f(x) exp(∫p dx) ] dx ◼ 非齐次方程的通解 ◼ y(x) = y(x) + yp(x) ◼ 例题