第六章:常微分方程(复习) 一、微分方程的一般概念 例子 y+tany=3x2+5 2y+3y>sinx-2 u,-4ug=5x y"+2y=0 (3)+4y'=5cosx 3x2y"+xy'+2y=x2 1、定义 联系自变量和未知函数及其导数的等式。 2、分类 按自变量的个数,分为常微分方程和偏微分方程; 按未知函数及其导数的次数,分为线性微分方程和非线性微分方 程; 按方程中未知函数导数的最高阶数,分为一阶、二阶和高阶微分方 程。 二、线性常微分方程 1、一般形式 aoy(n)+a1y (n-1)++a n-1y'+any=f(x) 其中未知函数的系数可以是常数,也可以是x的函数。 2、分类 按自由项f(x)是否为零,分为齐次和非齐次。 3、叠加原理 齐次方程任意两个解的线性组合也是解; 非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也是 解
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三、一阶线性常微分方程 1、一般形式 ao y+aly= F(x)o y+ py=f(x) 2、齐次方程的通解 Y(x)=Cexp[-∫pdX] 3、非齐次方程的特解 y(×)=C(×)exp[-∫pdx] 其中C(x)=∫[f(x)exp(∫pdx)]dx 4、非齐次方程的通解 )=y(x)+ yp(x) 例题 非齐次方程:y-2xy=4x3 对应的齐次方程:y-2xy=0 齐次通解:y=Cexp(x2) 非齐次特解的形式:yn=C(x)exp(x2) 代入非齐次方程:C(x)exp(x2)=4x 得到:C(x)=」4xexp-x)dk=-2(x2+)exp(-x) 非齐次特解:y=-2(x2+1) 非齐次通解:y=yn+y=-2(x2+1)+Cexp(x2) 四、二阶线性常系数微分方程 1、二阶线性常系数微分方程的一般形式为 aoy"+aly'+a2y= F(x)oy+ py'+qy= f(x) 特征方程:r2+pr+q=0 2、齐次方程的通解 特征根:r1和r2 通解 r1≠r2时y(x)=Aexp(r1x)+Bexp(r2X r1 时y(×)=Aexp(rx)+ B x exp(r×) 例题
4 % 5 & 5 # 5 5 % 67 '()*+, - 4 89 7 % 89:7 ;< = > > 6
微分方程:y+o2y=0 特征方程:r2+c2=0 通解:y=Aexp(iox)+Bexp(-iox) C cos(ox)+Dsin(ox) 微分方程 特征方程:r2-2=0 通解:y=Aexp(ox)+Bexp(-ox) C cosh(ox)+ Sinh(ox) 3、非齐次方程的特解 时y(×)=A(x)exp(r1x)+B(x)exp(r2×) H y(x)=A(xexp(r x)+b() exp( r x) 五、二阶线性变系数微分方程 最常见的二阶线性变系数微分方程有欧拉方程等 欧拉方程的一般形式为 y”+pXy+qy=f(×) 特征方程:s(S-1)+pS+q=0 齐次方程的通解 特征根:s1和 通解 s1≠s2时y(x)=Axs1+B s1=s2 H5 y(x)=AX+b Inx x 例题 微分方程:r2R"+2rR-l(1+1)R=0 特征方程:s(s-1)+2+l(l+1)=0 化简:s(s+1)+l(l+1)=0 特征根:s=l, 通解:R=Ar
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