第七章数学物理定解问题(5) 基本要求: 1.了解定解问题的提法; , 2.了解几种常见的数学物理方程的导出; 3.熟悉几种常见的边界条件和初始条件的表示形式; 4.能对两个自变数的线性偏微分方程进行分类; 5.了解行波法的意义,行波的物理意义,熟练运用达朗伯公式。 教学内容: 定解问题。定解条件,边界条件,初始条件,泛定方程,定解问题。 §7.1.数学物理方程的导出*。均匀弦的微小横振动,均匀杆的纵振动 *,均匀薄膜的微小振动*,扩散方程,热传导方程,稳定浓度分 布,稳定温度分布,静电场,(其他物理模型的方程的导出不作要 求)。 §7.2.定解条件。初始条件,边界条件(非线性边界条件不作要求) §7.3.二阶线性偏微分方程的分类。二阶线性偏微分方程的一般形式, 线性齐次和非齐次方程,叠加原理。两个自变数的方程分类(多 个自变数的方程分类不作要求),双曲型,抛物型,椭圆型方程, 方程的标准形式。常系数线性方程。 §7.4.行波法。达朗伯公式,行波,求解公式端点的反射*(固定端 的情形)。定解问题,适定性。 本章重点: 定解问题、定解条件提法,弦振动方程扩散方程及稳定浓度、温度 分布方程的导出,二阶线性方程的分类,常系数线性方程的化简, 达朗伯公式。 习题: §7.1.(第152—153页):2,5,7,8。 §7.2.(第161页):1,2,3,4。 §7.3.(第169170页):1(1)(2)(3)(4),2(1)(2) §7.4.(第179页):1,2,4,8。 46
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、数学物理方程的导出 、输运方程 1.1一维热传导方程 一维热传导 问题:一根长为L的均匀导热细杆,侧面绝热,内部无热源。其热 传导系数为k,比热为c,线密度为ρ。求杆内温度变化的规律, q(x, t) q(x+dx, t) x十dx 分析:设杆长方向为x轴,考虑杆上从x到x+dx的一段(代表),其 质量为dm=ρdx,热容量为cdm。设杆中的热流沿ⅹ轴正向,强度为 q(xt),温度分布为u(X,t),则 由能量守恒定律 candu=dQ q x, t)-q x+dx, t)]dt qx(x, t)dxdt 于是有 c ut =-qx 由热传导定律 q x, t)=-k ux(x, t) 代入前面的式子,得到 c ut =k uxx ut= a2 uxx 1.2推广 推广1 情况:内部有热源(或侧面不绝热) 分析:设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为 F(Xt),代表段的吸热为 Fdxdt 方程:cput=kux+F ut =a ux+f, f=F/c p) 推广2 情况:细杆不均匀 分析:热传导系数k,比热C或线密度ρ为x的函数
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方程:c(x)p(x)u1=[k(x 推广3 情况:扩散问题 分析:浓度→温度u,扩散系数D→热传导系数k,质量守恒→ 能量守恒,扩散定律→热传导定律 方程 dUly+ F +F 推广4 情况:三维情况 分析:温度u成为空间变量Xyz和时间t的函数 方程 (,y,=,t)=k(ux+u+u) cPu,(F,1)=k△a→u,(F,1)=a2△a 2、波动方程 2.1均匀弦的微小横振动 问题:一根长为L的均匀弹性弦,不计重力,不受外力。其张力 为T,线密度为ρ。求弦的微小横振动的规律。 xx+d 分析:设弦平衡时沿X轴,考虑弦上从x到x+dx的一段(代表), 其质量为dm=pdX。设弦的横振动位移为u(x,t),则 由牛顿第二定律 dmuttT2sin a 2-Tlsin a 1 0=T2 coS a 2-TI cos a 1 微振动条件 cos a 1= cos a 2=1 sin a 1= tan a 1=ux(x, t) sin a 2=tan a 2=ux(x+dx, t) 于是有 T2=T1=T
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dutt=T[ux(x+dx, t)-ux(x, t) 化简后得到 p utt= Tuxx utt= UXX 2.2推 推广1 情况:考虑重力或外力 分析:设单位长度所受到的横向外力F(x,t),代表段的受力为Fdx 方程 Tu、+F utt=a uxx+f, f= F/p 推广2 情况:弦的密度不均匀或受到纵向与ⅹ有关的力 分析:线密度p或张力T为x的函数 方程: x)u =-[( 推广3 情况:均匀杆的纵振动问题 分析:张力T变成杨氏模量Y 方程:put=Yux+F utt= aunt f 推广4 情况:三维情况 分析:位移u成为空间变量ⅹy,z和时间t的函数 方程 pu,, (x, y, : 1=T(u+u+u) Pun(F2D)=T△a→ln2(F21)=a2△ 3、稳定场方程 3.1概念 3.2产生: 在演化问题中,有时会到达一个不随时间变化的稳定状态,对应 的方程称为稳定场方程。 3.3形式: 在对应的演化方程中取消时间变量t,对t的导数为零 3.4分类
! !#!" ! !" }~Ï° !! !! ±² ±² y³ÄÅ´ÇÅ .µ¶QÐÆDÇÅ 5 ÆÅ 5 ±² y³BQ[@A´ÆHѬÒÅ .*Q´ÈÅ ½ ±² y³@AGHEF .ÈÅ )ÀÓÔY! ! ±² y³¿y³ .¶ËÀ Á¸) ·¸½ ÕÖ º» ¹×}¡5¬·Ø9d'[Ù·¸)}OÚÛ5%Ü Ý OV= "# ¹%Ü×}¡Þß·¸)5% à= .1 " " " "
无外界作用情况 拉普拉斯方程:△u=ut+uy+uz=0 有外界作用情况 泊松方程:△u=ut+uy+uz=f(X,yz) 3.5典型应用 静电场方程:△u=-p/e 稳定温度分布:△u=-F/k 、数学物理方程的分类 1、科学分类方法 1.1定义: 根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同类别 1.2作用 使大量繁杂的材料系统化和条理化,以便揭示对象间的相互关 系,探索内在规律,便于理解、应用和记忆。 1.3方法: 比较是分类的前提和基础, 分类是比较的深化和结果 14步骤: 进行比较,建立标准,分门别类,逐步细化 2、泛定方程的一般分类 方程示例: U=-p/a utt t uyy t uz=-u u Utt t u ut= uttx t uyy t uz =ax utt t uyy sin u uv+u=xt +4uy+ utt+ uyy +ut= 2u-X X utt t uyy sin y 2.1一般分类 按自变量的个数,分为二元和多元方程;
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