数学物理方法 复变函数的积分
数学物理方法 复变函数的积分
复变函数的积分 ■路积分 ■柯西定理 不定积分 ■柯西公式 ■本章小结
复变函数的积分 ◼ 路积分 ◼ 柯西定理 ◼ 不定积分 ◼ 柯西公式 ◼ 本章小结
路积分 ■路积分的概念和性质 实变函数 复变函数 定义n2k=1m/xxk=imn/ q04/k9=4 性质|[f+g=+|gLf+g!1=比+,gt 八h=/h上/k= f(z /4=+=L
路积分 ◼ 路积分的概念和性质 实变函数 复变函数 定义 性质 i n i i x b a f x dx f x x i = →0 =1 ( ) ( ) lim i n i i z C f z dz f z z i = →0 =1 ( ) ( ) lim = b a b a cf (x)dx c f (x)dx = C C cf (z)dz c f (z)dz + = + b a b a b a [ f g]dx fdx gdx + = + C C C [ f g]dz fdz gdz = − a b b a f (x)dx f (x)dx = − C C f (z)dz f (z)dz f dx f dx f dx b a b c c a + = f dz f dz f dz C C C C + = 1 2 1 2
路积分 ■路积分的计算 思路 ·化复为实 公式I ∫cf(z)dz=∫c(u+iv)(dx+idy) Scludx-vdy)+ijc(udy+vdx) ■公式I Jc f(zdz=cu +iv(elopdr +i r elopdop) Sceiop[(udr-vrdop)+i(urda+vdr)]
路积分 ◼ 路积分的计算 ◼ 思路 • 化复为实 ◼ 公式I • ∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(dx +idy) • = ∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx) ◼ 公式II • ∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(eiφdr +i r eiφdφ) • = ∫C eiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]
路积分 例题1 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫czdz从O到B的定积分。 解: d+ =dz OAB B(2+1) iyd(y)+L(x+i)d(x+i) 22+×2)=2+2 22 x、 C(2) =(x+i)l(x+ cdc d z+ =dz +2i OCB B +03[xh=2+2
路积分 ◼ 例题1 • 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Czdz从O到B的定积分。 解： zdz zdz zdz OAB OA AB = + ( ) ( ) ( ) 2 0 1 0 = iyd iy + x +i d x +i i 2i 2 3 2 2) 2 1 ( 2 1 2 = − + + = + ) 2 ) ( 2 ( 2 0 x d x i x zdz x i OB = + + (1 i) xdx 2i 2 3 2 0 2 2 1 = + = + zdz zdz zdz OCB OC CB = + 2i 2 3 = +