数学物理方法 第七章 数学物理定解问题
数学物理方法 第七章 数学物理定解问题
数学物理定解问题 数学物理方程的导出 数学物理方程的分类 ■定解条件 ■达朗贝尔公式 ■本章小结
数学物理定解问题 ◼ 数学物理方程的导出 ◼ 数学物理方程的分类 ◼ 定解条件 ◼ 达朗贝尔公式 ◼ 本章小结
数学物理方程的导出 ■输运方程 维热传导方程 推广 ■波动方程 ■均匀弦的微小横振动方程 推广 ■稳定场方程
数学物理方程的导出 ◼ 输运方程 ◼ 一维热传导方程 ◼ 推广 ◼ 波动方程 ◼ 均匀弦的微小横振动方程 ◼ 推广 ◼ 稳定场方程
输运方程 维热传导 由能量守恒定律 问题:一根长为L的均匀导热细杆, candu=dQ 侧面绝热,内部无热源。其热传 [a x, t)-q x+dx, t]dt 导系数为k,比热为C,线密度为=qx(X,t)dxdt ρ。求杆内温度变化的规律。 于是有 分析:设杆长方向为x轴,考虑杆cput=-qx 上从X到x+dx的一段(代表),其由热传导定律 质量为dm=pdx,热容量为 q x, t=k ux(x, t) cdm。设杆中的热流沿x轴正向 代入前面的式子,得到 强度为q(X),温度分布为 c pu k u(X,t),则 XX g (x, t) g(x+dx, t) 又x十dx
输运方程 ◼ 一维热传导 ◼ 问题：一根长为L的均匀导热细杆， 侧面绝热，内部无热源。其热传 导系数为k，比热为c，线密度为 ρ。求杆内温度变化的规律。 ◼ 分析：设杆长方向为x轴，考虑杆 上从x到x+dx的一段(代表)，其 质量为dm= ρdx，热容量为 cdm。设杆中的热流沿x轴正向， 强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则 由能量守恒定律 cdmdu=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt 于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
输运方程 ■推广1 情况:内部有热源(或侧面不绝热) ■分析:设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为 F(Xt),代表段的吸热为 Dadt 方程:cput=kux+F ut=a2 Uxx+ f, f=F/cp) ■推广2 ■情况:细杆不均匀 分析:热传导系数k,比热C或线密度p为X的函数 ■方程: du c(x)()ut ax [k(x)
输运方程 ◼ 推广1 ◼ 情况：内部有热源(或侧面不绝热) ◼ 分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为 F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt ◼ 方程：c ρut = k uxx+ F ◼ ut = a2 uxx+ f，f=F/(c ρ) ◼ 推广2 ◼ 情况：细杆不均匀 ◼ 分析：热传导系数k，比热c 或线密度ρ为x的函数 ◼ 方程： ( ) ( ) [ ( ) ] x u k x x c x x ut =