幂级数和泰勒展开 ■幂级数 形式 k=0 ak(z-b)k 收敛域: limk ak/ap lim a k+1 (z-b)+1/ak(z-b)1=lz-bI/R Z-b<R <1,绝对收敛 Z-b=R 1,不确定; Z-b>R 1,发散。 致收敛性 s(zdz k=0 (z-b)kdz o[ak(z-b)]
幂级数和泰勒展开 ◼ 幂级数 ◼ 形式： • s(z) = ∑k=0 ak (z-b)k ◼ 收敛域： • R = limk |ak/ak+1| • = limk |ak+1(z-b)k+1 /ak (z-b)k|=|z-b|/R • |z-b|<R <1，绝对收敛； • |z-b|=R =1，不确定； • |z-b|>R >1，发散。 ◼ 一致收敛性： • s(z)dz = k=0 ak (z-b)k dz • s’(z) = k=0 [ak (z-b)k]’
幂级数和泰勒展开 ■泰勒展开 ■问题 个幂级数是其收敛圆内的解析函数,反之如何? 泰勒定理: 个在圆|z-b=R内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(2z)=∑k=0a(z-b)k 该幂级数在圆|z-b=R内收敛; 以b为中心的展开式是唯一的 系数ak=fo(b)/n! 应用柯西积分公式,系数也可以表示为 (b) f(5) 2i(5-b)%s
幂级数和泰勒展开 ◼ 泰勒展开 ◼ 问题： • 一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？ ◼ 泰勒定理： • 一个在圆|z-b|=R 内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(z) = ∑k=0 ak (z-b)k • 该幂级数在圆|z-b|=R内收敛； • 以b为中心的展开式是唯一的； • 系数 ak=f(n)(b)/n! • 应用柯西积分公式，系数也可以表示为 d b f i f b n a L n n n + − = = 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ! 1