定理:空集是一切集合的子集。 证明:对于任何集合A,由子集定义有, QCA今Vx(X∈q>x∈A) 右边的蕴涵式中前件为x∈q为假,所以整个 蕴涵式对一切x为真,所以cA为真 推论:空集是唯一的。 证明:如不唯一,设存在空集φ1和q2,由空集是一 切集合的子集得q1≤q2和φ2三φ1。根据集合相等的 定义得,q1=q2
定理：空集是一切集合的子集。 证明：对于任何集合A，由子集定义有 , φA x(x∈φ→ x∈A) 右边的蕴涵式中前件为x∈φ为假，所以整个 蕴涵式对一切 x 为真，所以φ A为真 推论：空集是唯一的。 证明: 如不唯一, 设存在空集φ1和φ2 , 由空集是一 切集合的子集得φ1 φ2 和φ2 φ1 。根据集合相等的 定义得， φ1 = φ2
全集: 如果一个集合包含了所要讨论的每一个 集合,则称该集合为全集,记为E或U 它可形式地表为E={x|P(x)vP(x}其中 P(x)为任何谓词公式
全集： 如果一个集合包含了所要讨论的每一个 集合，则称该集合为全集，记为E 或 U。 它可形式地表为 E ={x | P(x)P(x)}。其中 P(x)为任何谓词公式
注意 注意符号∈和意义的区别 ∈表示元素与集合之间的关系,而c则表 示集合与集合之间的关系。但由于集合的抽象 性,集合中的元素可以是集合,故可以发生如: A∈B且AcB的情形 例设A={1,2,3},1,2,3},则 1,2,3}∈A且{1,2,3}∈A
注意符号和意义的区别： 表示元素与集合之间的关系，而则表 示集合与集合之间的关系。但由于集合的抽象 性，集合中的元素可以是集合，故可以发生如： A B且A B的情形 例 设A={{1,2,3}, 1,2,3}， 则 {1,2,3} A 且 {1,2,3} A 。 注意：
重要结论 对任意集合A,有AcA。 空集是任意集合的子集,且空集是唯一的。 对于任意两个集合A、B,A=B的充要条件是AcB且 BcA。(这个结论非常简单,但它非常重要,很多证 明都是用这个方法或思路来证明。)
➢对任意集合A, 有A A。 ➢空集是任意集合的子集，且空集是唯一的。 ➢对于任意两个集合A、B，A=B的充 要条件是AB且 BA。（这个结论非常简单，但它非常重要，很多证 明都是用这个方法或思路来证明。） 重要结论
幂集 设A是集合,A的所有子集为元素做成的集 合称为A的幂集记以P(A) 符号化表示为: P(A=XXCaj 例:A={a,b,c},则 P(A)={c{a},{b},{c},{a,b},a,c},{b,c},a,b,e!}
➢设A 是集合，A的所有子集为元素做成的集 合称为A的幂集,记以P(A) 符号化表示为： P(A)={x| x A}。 ➢例： A={a,b,c} ，则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}。 幂集