第7章常微分方程初值问题的数值解法 71引言 72离散变量法 73欧拉法 74龙格-库塔法 75单步法的收敛性与稳定性 7.6线性多步法 77方程组与高阶方程初值问题的数值解法 78数值实验 CQUPT
CQUPT 第7章 常微分方程初值问题的数值解法 7.1 引言 7.3 欧拉法 7.5 单步法的收敛性与稳定性 7.2 离散变量法 7.6 线性多步法 7.4 龙格-库塔法 7.7 方程组与高阶方程初值问题的数值解法 7.8 数值实验
71引言 工程和科学技术中的许多实际问题都可以用微分方程描述 y2,a≤t≤b 例71种群阻滞增长模型dt yla=y 其中y(D)为t时刻某种群的数量,常数a>0表示净增长率, 常数β>0表示自然资源和环境条件对该种群的限制率 CQUPT
CQUPT 7.1 引言 工程和科学技术中的许多实际问题都可以用微分方程描述. 例 7.1 种群阻滞增长模型 = = − 0 2 ( ) , y a y y y a t b dt dy 其中 y(t) 为t 时刻某种群的数量, 常数 0表示净增长率, 常数 0 表示自然资源和环境条件对该种群的限制率
阶常微分方程初值问题的数值解法 要角容 f(x,y),a≤x≤b (7.1) vla 其中∫(x,y)为已知函数,y(a)=y称为初值条件 预备知识 定理71设(xy)在区城D=(xy)≤x≤b,-<y<+上连续, 且关于y满足 Lipschitz条件,即对vx∈[ab以及Ⅵ,y2,存在常数L>0, 使得f(x,y1)-f(x,y2)≤Ly1-y21都成立, 则初值问题(7.1)在[anb]上存在唯一的连续可微解y=y(x) CQUPT
CQUPT 一阶常微分方程初值问题的数值解法. = = 0 ( ) ( , ), y a y f x y a x b dx dy (7.1) 其中 f (x, y) 为已知函数, 0 y(a) = y 称为初值条件. 定理 7.1 设 f (x, y) 在区域 D = (x, y) a x b, − y +上连续, 且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即对 x[a,b]以及 1 2 y , y ,存在常数 L 0 , 使得 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) L y − y 都成立, 则初值问题（7.1）在[a,b]上存在唯一的连续可微解 y = y(x) . 主要内容 预备知识
若初值问题(7.1)有唯一解y(x),对任意E>0,存在常数δ>0, 使得当y0-<δ时,有y(x)-y(x)<E (72) 其中,y(x)表示(7.1)中方程以为初值的解,则称初值问题(.) 关于初值是稳定的 定理7,2若定理71的条件成立,则初值问题71) 关于初值是稳定的 例72证明下面的初值问题关于初值是稳定的 ax-y+1,0≤x≤1 y(0)=1 CQUPT
CQUPT 若初值问题（7.1）有唯一解 y(x) ，对任意 0 ，存在常数 0, 使得当 y0 − y0 时，有 y(x) − y(x) （7.2） 其中, y(x) 表示（7.1）中方程以 0 y 为初值的解,则称初值问题（7.1） 关于初值是稳定的. 定理 7.2 若定理 7.1 的条件成立，则初值问题(7.1) 关于初值是稳定的. 例 7.2 证明下面的初值问题关于初值是稳定的. = = − + (0) 1 1, 0 1 y x y x dx dy
f(x,y),a≤x≤b y(a=y 微分方程数值解法,就是求初值问题(1)的解y(x)在一系列 离散节点x:a=x0<x1<x2<…<xn1<xn=b处的 解y(x)的近似值y(=0,1,…,m)的方法 其中[a,b称为求解区间,h=x+1-x称为步长 CQUPT
CQUPT = = 0 ( ) ( , ), y a y f x y a x b dx dy (7.1) 微分方程数值解法，就是求初值问题(7.1)的解 y(x) 在一系列 离散节点 xi : a = x0 x1 x2 .... xn−1 xn = b 处的 解 ( ) i y x 的近似值 y (i 0,1, ,n) i = 的方法. 其中 [a,b] 称为求解区间, i i i h = x − x +1 称为步长