(非线性方程的求根 A 非线性方程的求根 主讲:王开荣 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
非线性方程的求根 非线性方程的求根 主讲：王开荣 11 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(非线性方程的求根 第五章非线性方程的求根 §1二分法 基本思想:利用零点定理确定根的存在区间,逐步将含 根的区间对分.通过判别函数值的符号,将根的存在区 间缩小到充分小,从而求出满足精度要求的根的近似值 计算步骤为,计算函数值f(a+b)/2) 1.若(a+b)2)<,是预先给定的误差精度,则(a+b)2 为所求根的近似值 2若(a+b)/2)>E,则 当f(a+b)/2)fa)<0,a1a,b1<(a+b)/2 当f(a+b)2)fa)>0,a1((a+b)/2,b1b 继续此过程就得到一个包含根的区间套,满足 2 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
非线性方程的求根 22 第五章 非线性方程的求根 §1 二分法 基本思想: 利用零点定理确定根的存在区间, 逐步将含 根的区间对分. 通过判别函数值的符号, 将根的存在区 间缩小到充分小, 从而求出满足精度要求的根的近似值. 计算步骤为, 计算函数值f((a+b)/2), 1. 若|f((a+b)/2)|<e, e是预先给定的误差精度, 则(a+b)/2 为所求根的近似值 2.若|f((a+b)/2)|>e,则 当f((a+b)/2)·f(a)<0, a1¬a, b1¬(a+b)/2. 继续此过程就得到一个包含根的区间套, 满足 当f((a+b)/2)·f(a)>0, a1¬(a+b)/2, b1¬b. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(非线性方程的求根 ( la, b=a1,b=a2, b2=.lan, bnl= (2)(ak(bk)<0,a∈(ak,b1),k=1,2,…,n, (3)bkak=(b-a)/2k,k=1,2,…,n, 当n充分大时就有:≈(an+bn)/2 误差估计式为 at6 b 2 注1优点:方法和计算都简单,且对函数(x)的性质要求 不高,只须连续即可.其缺点是不能求偶数的重根在实 用中常用二分法来判别根的存在区间,或求出根的初始 近似值,以便使用其它的快速选代法求根 3 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
非线性方程的求根 33 当 n 充分大时就有: a»(an +bn )/2 1 2 2 n n n a b b a a + + - 误差估计式为 - £ (1)[a, b]É[a1 , b1 ]É[a2 , b2 ]É···É[an , bn ]É (2)f(ak )f(bk )<0, aÎ(ak , bk ), k=1, 2, ··· , n, ··· (3) bk -ak=(b-a)/2k , k=1, 2, ··· , n, ··· 注1 优点:方法和计算都简单, 且对函数f(x)的性质要求 不高, 只须连续即可. 其缺点是不能求偶数的重根. 在实 用中常用二分法来判别根的存在区间, 或求出根的初始 近似值, 以便使用其它的快速迭代法求根. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(非线性方程的求根 注2应用中常常是取适当的步长h,对区间{a,b从左到 右逐步扫描,检查小区间的两端函数值符号,从而判断 根的存在区间,再用收敛速度快的选代法,选代计算求 根.步长h选择应适当,过大可能漏掉根,过小将会增加 计算的工作量 §2迭代法 设方程x)=0可以转化为等价的形式=g(x),从某个 初值x0出发令 xk+1=g(x1),k=0,1,2 (5.1) 得到序列{xA}.当g(x)连续,且序列{x收敛时,有 lim xkI= lim g(xk)=gdim x) →0 k→∞ k→∞ 即PQ=g(a),也即序列{xk的极限是方程f(x)=0的根 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
非线性方程的求根 44 注2 应用中常常是取适当的步长h, 对区间[a, b]从左到 右逐步扫描, 检查小区间的两端函数值符号, 从而判断 根的存在区间, 再用收敛速度快的迭代法, 迭代计算求 根. 步长h选择应适当, 过大可能漏掉根, 过小将会增加 计算的工作量. §2 迭代法 设方程f(x)=0可以转化为等价的形式x=g(x). 从某个 初值x0出发令 得到序列{xk }. 当g(x)连续, 且序列{xk }收敛时, 有 1 lim lim ( ) (lim ) k k k k k k x g x g x + ®¥ ®¥ ®¥ = = 即a=g(a), 也即序列{xk }的极限a是方程f(x)=0的根. xk+1 =g(xk ), k=0, 1, 2, ··· (5.1) PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(非线性方程的求根 称(51)为选代公式,函数g(x)为选代函数,构造选代公 式的方法称为选代法 迭代公式构造的不同,可能会出现发散或无意义的 情形,即使是收敛的,收敛的速度也有快慢之分 单点迭代法计算第k+1个近似值xk时仅用到第k个点 处的信息,如(51) 多点选代法:计算xk+1时需要用到前面p个点处的信 息一般形式为:xk+1=8(xkxk1,…,x+) 多点选代法需要p个起始的初始值:xnx1,…,x 、迭代法的收敛性 选代法一般只具有局部的收敛性,即当初始值x0充分 接近于根a时,选代法产生的序列{x}才收敛于根 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
非线性方程的求根 55 称(5.1)为迭代公式, 函数g(x)为迭代函数. 构造迭代公 式的方法称为迭代法. 迭代公式构造的不同, 可能会出现发散或无意义的 情形, 即使是收敛的, 收敛的速度也有快慢之分. 单点迭代法 计算第k+1个近似值xk+1时仅用到第k个点 处的信息,如(5.1) 多点迭代法：计算xk+1时需要用到前面p个点处的信 息一般形式为: xk+1 =g(xk , xk-1, ··· , xk-p+1) 多点迭代法需要p个起始的初始值: x0 , x1 , ··· , xp-1. 一 、迭代法的收敛性 迭代法一般只具有局部的收敛性, 即当初始值x0充分 接近于根a时, 迭代法产生的序列{xk }才收敛于根a. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com