车速估计模型 作者姓名:温罗生 作者单位:重庆大学 Email: wls@cqu,edu,cn 数学分支:应用数学 学科分类 预备知识 适用范围 1.问题背景 2015年6月20日在南京发生的宝马车闯红灯撞碎马自达车的交通事故,根据随后所公布 的碰撞视频,网友被超过好莱坞特技场面的惨烈画面所震撼。在警方给出车速之前,大家纷 纷质疑事发时肇事宝马车的车速。实际上,常用的判断车速的方法有很多,比如最常用的雷 达测速,区间测速,基于图像的测速,基于刹车痕迹的测速方法等等。但限于当时的情景 上述的方法都不可用。因此,如何利用已有的数据确定碰撞时汽车的速度,对于平息公众的 疑问,是非常有实际价值的研究问题。 2.问题的提出 在当前的研究中,测量和估计运动物体的速度有多种方法,但是针对于本问题,发现许 多方法并不适用。如果仅仅根据事故发生时现场的不完整视频资料以及必要的常识性数据(比 如宝马车和马自达车的基本参数、提供视频的摄像头参数等)得到宝马车车速的估计。 3.问题的模型与求解方法 该问题采用的基本思路可以如下的表达:首先对视频进行处理,通过适当的方法确定图像 坐标和实际坐标之间的对应关系。然后根据马自达车的轨迹去推算出马自达车质心的速度和 马自达车角速度。接着根据两车的质量、材料、几何信息,结合碰撞前后的运动状况,建立 刚体碰撞模型,间接地对宝马车的初始速度求解。下面分三个部分具体给出解决过程。 3.1马自达车速度确定模型及求解 在这一部分,我们通过对视频的处理,确定马自达车的速度和角速度。包括以下几个主 要步骤:图形坐标和实际坐标的关系确定;马自达车的速度和角速度计算。 (1)图形坐标和实际坐标的关系确定 如图1所示,O点相当于摄像机的焦点,NC代表的某平面上的一条直线,MF为 摄像头镜头投影面上的一条直线,也就是是视频图像上得到的一条直线 图1摄像头成像原理示意图 其中D、E、F三点分别为视频中选取的三个点,其所对应的实际道路路面为A、 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
车速估计模型 作者姓名：温罗生 作者单位：重庆大学 Email:wls@cqu.edu.cn 数学分支：应用数学 学科分类： 预备知识： 适用范围： 1. 问题背景 2015 年 6 月 20 日在南京发生的宝马车闯红灯撞碎马自达车的交通事故，根据随后所公布 的碰撞视频，网友被超过好莱坞特技场面的惨烈画面所震撼。在警方给出车速之前，大家纷 纷质疑事发时肇事宝马车的车速。实际上，常用的判断车速的方法有很多，比如最常用的雷 达测速，区间测速，基于图像的测速，基于刹车痕迹的测速方法等等。但限于当时的情景， 上述的方法都不可用。因此，如何利用已有的数据确定碰撞时汽车的速度，对于平息公众的 疑问，是非常有实际价值的研究问题。 2. 问题的提出 在当前的研究中，测量和估计运动物体的速度有多种方法，但是针对于本问题，发现许 多方法并不适用。如果仅仅根据事故发生时现场的不完整视频资料以及必要的常识性数据（比 如宝马车和马自达车的基本参数、提供视频的摄像头参数等）得到宝马车车速的估计。 3. 问题的模型与求解方法 该问题采用的基本思路可以如下的表达：首先对视频进行处理，通过适当的方法确定图像 坐标和实际坐标之间的对应关系。然后根据马自达车的轨迹去推算出马自达车质心的速度和 马自达车角速度。接着根据两车的质量、材料、几何信息，结合碰撞前后的运动状况，建立 刚体碰撞模型，间接地对宝马车的初始速度求解。下面分三个部分具体给出解决过程。 3.1 马自达车速度确定模型及求解 在这一部分，我们通过对视频的处理，确定马自达车的速度和角速度。包括以下几个主 要步骤：图形坐标和实际坐标的关系确定；马自达车的速度和角速度计算。 （1）图形坐标和实际坐标的关系确定 如图 1 所示，O 点相当于摄像机的焦点，NC 代表的某平面上的一条直线，MF 为 摄像头镜头投影面上的一条直线，也就是是视频图像上得到的一条直线。 图 1 摄像头成像原理示意图 其中 D、E、F 三点分别为视频中选取的三个点，其所对应的实际道路路面为 A、 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
B、C。另外在视频中找一点M,则M点所对应的路面上的点为N,我们通过标定希 望求得的数据即为视频图像中MD所对应的实际距离NA。 通过直接的运算,可以得到如下的关系 2AB·EF·MD NA (EF+DE+MD)·DE-MD·EF 如图2,从视频中图像选定几个点作为参照物其连线得到两条相交的直线。 E1 友道河路石遇 图2选取实际间距相等的点作为参照物 从视频图像中横向选取等距的电线杆D1、E1、F1,而根据我国电线电缆的标准,实际电线 杆的间距均为50m。纵向选取图像中等距的斑马线D2,E2,F2,根据我国《道路交通标志和标 线》(GB5768准,相邻斑马线的间距为06m,得到图上三点D2、E2和F2的间距均为24m。 考虑车上的一个目标点,在某一时刻位于地平面R处,相应的地面坐标为(XR,YR),在 下一时刻,因为运动,其位于地平面S处,相应的地面坐标为(XsYs)。在前一个时刻对于的 视屏中,R点的像记为R’,其图像坐标为(xR:yR),同样的S点的像记为S’,其图像坐标为 (xsys),利用上面的关系式,可以根据图像坐标确定两点的实际坐标。为得到更加精确的 结果,可以将碰撞之后马自达车上目标点在各帧的图像坐标列出,并使用同样的方法得到他 们在实际坐标的位置,并利用曲线拟合方法得到该车速度的结果。 (2)马自达车的速度和角速度计算 为了对车不同位置进行标记,我们选取了车上两个较明显的点:车的右后视镜点A和右 侧车挡风玻璃中间的顶部B点。 将A、B两点位移做差分,便可得到它们近似的速度 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
B、C。另外在视频中找一点 M，则 M 点所对应的路面上的点为 N，我们通过标定希 望求得的数据即为视频图像中 MD 所对应的实际距离 NA。 通过直接的运算，可以得到如下的关系： 2 ( ) AB EF MD NA EF DE MD DE MD EF × × = + + × - × 如图 2，从视频中图像选定几个点作为参照物其连线得到两条相交的直线。 图 2 选取实际间距相等的点作为参照物 从视频图像中横向选取等距的电线杆D1、E1、F1，而根据我国电线电缆的标准，实际电线 杆的间距均为50m。纵向选取图像中等距的斑马线D2，E2，F2，根据我国《道路交通标志和标 线》(GB5768)标准，相邻斑马线的间距为0.6m，得到图上三点D2、E2和F2的间距均为2.4m。 考虑车上的一个目标点，在某一时刻位于地平面R处，相应的地面坐标为（XR,YR），在 下一时刻，因为运动，其位于地平面S处，相应的地面坐标为（XS,YS）。在前一个时刻对于的 视屏中，R点的像记为R’，其图像坐标为（xR’ ,yR’），同样的S点的像记为S’，其图像坐标为 （xS’ ,yS’），利用上面的关系式，可以根据图像坐标确定两点的实际坐标。为得到更加精确的 结果，可以将碰撞之后马自达车上目标点在各帧的图像坐标列出，并使用同样的方法得到他 们在实际坐标的位置，并利用曲线拟合方法得到该车速度的结果。 （2）马自达车的速度和角速度计算 为了对车不同位置进行标记，我们选取了车上两个较明显的点：车的右后视镜点 A 和右 侧车挡风玻璃中间的顶部 B 点。 将 A、B 两点位移做差分，便可得到它们近似的速度 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
y=lim A(t+△)-rA(t)、r vB=lim 5B(t+Ar)-r(t) rbil-rBi A 在忽略阻力的情况下,根据质点系动量定理,质心G在撞出去之后做匀速直线运动,而 以G点为基点,可以确定A、B两点的速度 V =V+V 相对速度ⅴA和vBG可以通过角速度O和与质心连线距离的乘积来确定。在物体恰好 转过一周时,视频刚好放过8帧图像,摄影机频率∫=30,则每一帧图像时间间距 t0=1/f=1/30秒。根据角速度定理,相对每一个基点的角速度是相同的,所有角速度为 在第i帧图像里面测得A点的速度为v,那么对转过一周的速度求矢量和,便可间接 求出质心速度 ∑v=∑va+∑ 同理 ∑、=8 将两者分别求和除以8后去算数平均值即为质心速度。求出结果如下表 表1:马自达车碰撞后运动参数 质心速度x分量大小质心速度y分量大 角速度O 质心速度大小v 小v 23.561944rad/s 27058802m/s 11799663m/s 24350498m/s 3.2刚体碰撞模型以及宝马车速度的确定 在得到马自达车的运动信息之后,下面建立了刚体碰撞模型。 (1)速度修正 由于马自达车在碰撞之后形成许多飞溅的碎片,为了消除空中飞出去部分的影响,我们 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
1 0 0 1 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A A Ai Ai A t B B Bi Bi B t t t t t t t t t t t + D ® + D ® + D - - = » D + D - - = » D r r r r v r r r r v 在忽略阻力的情况下，根据质点系动量定理，质心 G 在撞出去之后做匀速直线运动，而 以 G 点为基点，可以确定 A、B 两点的速度 A G AG B G BG = + = + v v v v v v 相对速度 AG v 和 BG v 可以通过角速度w 和与质心连线距离的乘积来确定。在物体恰好 转过一周时，视频刚好放过 8 帧图像，摄影机频率 f = 30 ，则每一帧图像时间间距 0 t f = = 1/ 1/ 30 秒。根据角速度定理，相对每一个基点的角速度是相同的，所有角速度为 0 2 8t p w = 在第 i 帧图像里面测得 A 点的速度为 Ai v ，那么对转过一周的速度求矢量和，便可间接 求出质心速度 8 8 8 1 1 1 8 Ai G AGi G i= i i = = åv =å å v + = v v 同理 8 1 8 Bi G i= åv v = 将两者分别求和除以 8 后去算数平均值即为质心速度。求出结果如下表 表 1： 马自达车碰撞后运动参数 角速度w 质心速度大小 G v 质心速度 x 分量大小 Gx v 质心速度 y 分量大 小 Gy v 23.561944 rad s/ 27.058802m s/ 11.799663m s/ 24.350498m s/ 3.2 刚体碰撞模型以及宝马车速度的确定 在得到马自达车的运动信息之后，下面建立了刚体碰撞模型。 （1）速度修正 由于马自达车在碰撞之后形成许多飞溅的碎片，为了消除空中飞出去部分的影响，我们 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
需要对车速进行修正,将其转换为未被撞散时的情形。 根据碰撞汽车残骸的数据,留在地面部分大致占整车的三分之二,而飞出去的三分之 速度大致是地面的6倍。空中部分速度几乎没有x方向的分量且角速度非常小,所以需要修正 的速度仅有y方向的分量。设马自达整车质量为m,修正后的车速,即假定马自达车没有被 撞散时的速度大小为v。根据动量守恒定律 mv+m.6v=m,v 从而计算出速度的修正因数为 v 8 所以如果马自达车在碰撞之后没有撞散,那么它的质心在y方向应该有的速度为 在本文的后面部分均采用修正后的速度。 (2)质量参数与几何参数确定 两车碰撞之前的运动状况和质量、几何信息可以完全决定碰撞之后的运动状况。相反, 我们可以从碰撞之后的运动情况反解出原来的运动状况 首先,我们通过官方的数据得到了两车的基本参数,如下表所示。 表2车辆质量和几何参数表 整车质量m 长度a 宽度b 宝马 2160k 5129mm 1902mm 马自达 015k 3905mm 1695mm 转动惯量是重要的质量参数,可以通过上面的参数求出。为了计算的方便,我们假设两 车形状均为长方体,而质心位于体对角线中心。一个质点离转轴的距离为r,那么转动惯量 因此可以计算出进过质心x、y方向的转动惯量Jx、J分别为 ab mab 实际转轴〓的转动惯量J b(a+b) 12 将上表中参数带入以上公式便可计算出两车的转动惯量JG1和JC2 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
需要对车速进行修正，将其转换为未被撞散时的情形。 根据碰撞汽车残骸的数据，留在地面部分大致占整车的三分之二，而飞出去的三分之一 速度大致是地面的 6 倍。空中部分速度几乎没有 x 方向的分量且角速度非常小，所以需要修正 的速度仅有 y 方向的分量。设马自达整车质量为 m1，修正后的车速，即假定马自达车没有被 撞散时的速度大小为 v’。根据动量守恒定律 1 1 1 2 1 6 3 3 m v + m × =v m v¢ 从而计算出速度的修正因数为 8 3 v v x ¢ = = 所以如果马自达车在碰撞之后没有撞散，那么它的质心在 y 方向应该有的速度为 Gy Gy v v ¢ = x 在本文的后面部分均采用修正后的速度。 （2）质量参数与几何参数确定 两车碰撞之前的运动状况和质量、几何信息可以完全决定碰撞之后的运动状况。相反， 我们可以从碰撞之后的运动情况反解出原来的运动状况。 首先，我们通过官方的数据得到了两车的基本参数，如下表所示。 表 2 车辆质量和几何参数表 整车质量m 长度a 宽度b 宝马 2160kg 5129mm 1902mm 马自达 1015kg 3905mm 1695mm 转动惯量是重要的质量参数，可以通过上面的参数求出。为了计算的方便，我们假设两 车形状均为长方体，而质心位于体对角线中心。一个质点离转轴的距离为 r，那么转动惯量 2 i J = m r dV òòò 因此可以计算出进过质心 x、y 方向的转动惯量 x J 、 y J 分别为 2 2 1 12 1 12 x y J mab J ma b = = 实际转轴 z 的转动惯量 z J 1 ( ) 12 z x y J = J + J = + ab a b 将上表中参数带入以上公式便可计算出两车的转动惯量 G1 J 和 G2 J 。 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(3)动力学分析 首先,我们做了适当简化,绘制出了碰撞示意图如下 门≤m.J 半围 图3碰撞示意图 由于马自达车的碰撞点受力作用线不经过质心,所以会发生非对心碰撞,在碰撞冲量Ie 的作用下,会对质心G点产生一个冲量矩M(I),使得在撞出去的同时,刚体具有了 定动量矩,马自达车便会绕质心转动。 分别做出马自达车在碰撞前和碰撞后的运动示意图,以便分析它的碰撞过程。碰撞前示 意图如下图所示。 图4马自达车碰撞前示意图 此时,马自达车正以v1的速度大小,转过十字路口。假设转过的角度为O时与宝马车相 撞。碰撞点距质心在x方向距离为l。我们根据马自达车的残骸来看,车断裂处与车几何中心 距离约为25cm,因此我们估计l≈50cm 在马自达车转弯的时候,由于转弯半径R较大,因此原始角速度⑩o是比较小的。从路 口的实际情况来看,马自达车的中心位于两边车道开始转弯时垂线的交点。使用前面的定位 方法,我们大致可以确定它的转弯半径R≈100m 而转弯半径R,角速度O和速度之间存在以下运动学关系 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
（3）动力学分析 首先，我们做了适当简化，绘制出了碰撞示意图如下 图 3 碰撞示意图 由于马自达车的碰撞点受力作用线不经过质心，所以会发生非对心碰撞，在碰撞冲量 ( ) e I 的作用下，会对质心G 点产生一个冲量矩 ( ) ( ) e MG I ，使得在撞出去的同时，刚体具有了一 定动量矩，马自达车便会绕质心转动。 分别做出马自达车在碰撞前和碰撞后的运动示意图，以便分析它的碰撞过程。碰撞前示 意图如下图所示。 图 4 马自达车碰撞前示意图 此时，马自达车正以 v1 的速度大小，转过十字路口。假设转过的角度为 θ 时与宝马车相 撞。碰撞点距质心在 x 方向距离为 l。我们根据马自达车的残骸来看，车断裂处与车几何中心 距离约为 25cm，因此我们估计 l ≈ 50cm。 在马自达车转弯的时候，由于转弯半径 R 较大，因此原始角速度w0 是比较小的。从路 口的实际情况来看，马自达车的中心位于两边车道开始转弯时垂线的交点。使用前面的定位 方法，我们大致可以确定它的转弯半径 R ≈ 100m。 而转弯半径 R ，角速度w0 和速度之间存在以下运动学关系 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com