△开 第3章曲线拟合与函数逼近 s31曲线拟合的最小二乘法 s32最小二乘法的求法 §33最佳平方逼近 s34数值实验
第3章 曲线拟合与函数逼近 §3.1 曲线拟合的最小二乘法 §3.2 最小二乘法的求法 §3.3 最佳平方逼近 §3.4 数值实验
第3章曲线拟合与函数逼近 0引言 若∫(x)是由实验或观测得到的,则其函数通常由函数表 (x1∫(x1)(i=1,2,…m)给出插值法是找到一个简单且便于 计算的公式,利用它可计算给定区间上的函数值 但有问题一: (1)高次多项式会龙格现象; 数据 误差 (2)用插值糸件来确定函数关系不合理 解决办法:曲线拟合的最小二乘法 问题二: 设给定一个函数∫,∫的表达式非常复杂,计算f的值很不经济 解决办法:寻找另一个函数p,它既易于求值 且又是对f的一个合理的逼近
若f (x)是由实验或观测得到的，则其函数通常由函数表 (xi , f (xi )) (i=1,2,…,m)给出. 插值法是找到一个简单且便于 计算的公式，利用它可计算给定区间上的函数值. 但有问题一: (1)高次多项式会龙格现象； 第 3 章 曲线拟合与函数逼近 0 引言 数据 误差 (2)用插值条件来确定函数关系不合理. 解决办法：曲线拟合的最小二乘法. 设给定一个函数f，f 的表达式非常复杂，计算f的值很不经济. 问题二: 解决办法：寻找另一个函数p，它既易于求值 且又是对f 的一个合理的逼近
3.1曲线拟合的最小二乘法 引例考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系, 下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应 的拉伸倍数的记录 编号拉伸倍数 强度编号拉伸倍数x强度V 1.9 1.4 13 5 5.5 12345 14 5.2 5 2.1 15 6 5.5 2.5 2.5 16 6.3 6.4 2.7 2.8176.56 62.72.5187.15.3 7 3.5 19 3.52.720 44 421 8 88.9 8.5 10 3.522 8 11 4.5 23 9.5 8.1 12 4.6 24 10 8.1
引例考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系, 下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应 的拉伸倍数的记录: 编 号 拉伸倍数 强 度 编 号 拉伸倍数 强 度 1 1.9 1.4 13 5 5.5 2 2 1.3 14 5.2 5 3 2.1 1.8 15 6 5.5 4 2.5 2.5 16 6.3 6.4 5 2.7 2.8 17 6.5 6 6 2.7 2.5 18 7.1 5.3 7 3.5 3 19 8 6.5 8 3.5 2.7 20 8 7 9 4 4 21 8.9 8.5 10 4 3.5 22 9 8 11 4.5 4.2 23 9.5 8.1 12 4.6 3.5 24 10 8.1 xi yi xi yi 3.1 曲线拟合的最小二乘法
纤维强度随拉伸倍数 增加而增加; 并且24个点大致分布在 条直线附近 因此可以认为强度 与拉伸倍数x的主要 关系应是线性关系y(x)=B0+B1x其中,B为待定参数 我们希望y(x)=B+Bx与所有的数据点(样本点)x2y2) 越接近越好 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纤维强度随拉伸倍数 增加而增加； 关系应是线性关系 与拉伸倍数 的主要 因此可以认为强度 x y 并且24个点大致分布在一 条直线附近. y x x 0 1 ( ) = + 其中0 ,1为待定参数 0 1 ( ) ( )( , ) i i 我们希望y x x x y = + 与所有的数 越 据点 样本点 接近越好 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点
对所找出的曲线y=y(x) 令=y(x)-y2(=12 一般使用|2=∑82=∑(y(x)-y) 作为衡量y(x)与数据点(x1,y)偏离程度大小 称为平方误差 度量标准:min∑82.称在这个要求下的拟合 拟合 问题 为曲线拟合的最小二乘法
i i i 令 = y(x ) − y 一般使用 2 2 2 1 m i i = = 2 1 ( ( ) ) m i i i y x y = = − 拟合 问题 度量标准： = m i i 1 2 min . 称在这个要求下的拟合 为曲线拟合的最小二乘法. 作为衡量 y(x) 与数据点( , ) i i x y 偏离程度大小 称为平方误差. (i=1,2,…,m) 对所找出的曲线 y y x = ( ):