带微分方程的数值解法) A 常微分方程的数值 解法 主讲:王开荣 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 常微分方程的数值 解法 主讲：王开荣 11 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
BAA(常微分方程的数值解浅 第九章常微分方程的数值解法 §1引言 考虑常微分方程初值问题 f(x,y),a≤x≤b dx ly(a)=yo (9.1 定理91设常微分方程(9,1)中的二元函数f(x,y)满足 (1)在区域D={(x,y)a≤x≤b,-0-y<+o}上连续 (2)在D上关于y满足 Lipschitz条件,即存在常数L,使 fxy)-f(x,y2)≤Luyl,V(x,y),(x,y)∈D(9.2) 其中L称为 Lipschitz常数则问题(9.1)在区间{a,b上存 在唯一连续可微的解y=y(x) 2 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 22 第九章 常微分方程的数值解法 考虑常微分方程初值问题 0 ( , ), ( ) dy f x y a x b dx y a y ì ï = £ £ í ï î = (9.1) 定理9.1 设常微分方程(9.1)中的二元函数f(x, y)满足 (1)在区域D={(x, y)|a£x£b, -¥<y<+¥}上连续. (2)在D上关于y满足Lipschitz条件, 即存在常数L, 使 其中L称为Lipschitz常数. 则问题(9.1)在区间[a, b]上存 在唯一连续可微的解y=y(x). |f(x,y)-f(x, y * )|£L|y-y * |, "(x, y), (x, y * )ÎD (9.2) §1 引言 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) 数值解法常分为两大类 1)单步法:计算节点x处的近似值y1时只用到了前 面一个点x处的信息 (2)多步法:计算节点x1处的近似值y1时用到了前面 多个点xpx1,…,xp处的信息 定义9.,1若对vy(x)∈M,微分方程的数值解法的计算 公式均准确成立,但至少有一个r+1次的多项式不能准 确成立,则称计算公式是r阶的 记y(x)为准确值,y1为计算的近似值,称 Ty(x+1)-y+1 为近似值y1的局部截断误差 当公式是阶时,有y(x1)y1=Ch r+1 称C为渐进误差常数 3 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 33 数值解法常分为两大类 (1) 单步法: 计算节点xi+1处的近似值yi+1时只用到了前 面一个点xi处的信息. (2) 多步法:计算节点xi+1处的近似值yi+1时用到了前面 多个点xi , xi-1, ··· , xi-p处的信息. 定义9.1 若对"y(x)ÎMr , 微分方程的数值解法的计算 公式均准确成立, 但至少有一个r+1次的多项式不能准 确成立, 则称计算公式是r 阶的. 记y(xi+1)为准确值, yi+1为计算的近似值, 称 当公式是r阶时, 有 称C为渐进误差常数. 为近似值yi+1的局部截断误差. Ti =y(xi+1)-yi+1 y(xi+1)-yi+1 =Chi r+1 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) §2 Euler方法 Euler方法 设y是y(x)的近似值,则对方程(9.1)有差分方程 ∫yn=y+b(x2y) 94)称为求解初值问题(9,1)的 Euler方法,从(9,3)(94) 可知,E山r方法是一阶的单步显式法 二、改进的Euer法 1.中点方法 差分方程 yH1=y1+2h/(x1,y)(9.5 局部截断误差7 hy"(5)5,∈(x1,x PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 44 §2 Euler 方法 一 、Euler方法 设yi是y(xi )的近似值, 则对方程(9.1)有差分方程 î í ì = + = + ( ) ( , ) 0 1 y y a y y hf x y i i i i (9.4) (9.4)称为求解初值问题(9.1)的Euler方法. 从(9.3) (9.4) 可知, Euler方法是一阶的单步显式法. 二、改进的Euler法 1. 中点方法 差分方程 2 ( , ) i 1 i 1 i i y = y + hf x y + - (9.5) 局部截断误差 3 1 1 ( ), ( , ) 3 i i i i i h T y x x x x - + = Î ¢¢¢ PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) 差分方程(9.5)称为中点公式,中点公式(95)是二步二阶 显式方法 2.梯形方法 差分方程 y#1=y+=[(x12y)+f(x11y+1) 局部截断误差为T=-y"()25∈(x1,x1) 差分方程(96称为梯形公式,它是单步二阶方法由于 (9.6)式的两端均含有y1的信息,它是关于未知量y1的 个隐函数方程,称之为隐式方法 3. Euler预测-校正法 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 55 差分方程(9.5)称为中点公式, 中点公式(9.5)是二步二阶 显式方法. 2. 梯形方法 差分方程 [ ( , ) ( , )] 2 i+1 = i + i i + i+1 i+1 f x y f x y h y y 局部截断误差为 3 1 ( ), ( , ) 12 i i i i i h T y x x x x + = - Î ¢¢¢ 差分方程(9.6)称为梯形公式, 它是单步二阶方法. 由于 (9.6)式的两端均含有yi+1的信息, 它是关于未知量yi+1的 一个隐函数方程, 称之为隐式方法. 3. Euler预测-校正法 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com