函数逼近与曲线拟合 A 函数逼近与曲线 拟合 主讲:王开荣 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 函数逼近与曲线 拟合 主讲：王开荣 11 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 第七章函数逼近与曲线拟合 §1逼近的概念 定义71设函数p(x)满足 (1)p(x)≥0,Vx∈(a,b) b (2)|p(x)x>0 (3)|x"p(x)x存在,n=0,1,2… 则称p(x)为区间[a,b上的权函数 定义72设f(x)g(x)∈C{a,bp(x)为[a,b上的权函数,称 (, g)= p(x)f(x)g(r)dx 为函数f(x)28(x)在b上带权函数p(x)的内积 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 22 第七章函数逼近与曲线拟合 §1 逼近的概念 定义7.1 设函数r(x)满足 (1) ( ) 0, ( , ) (2) ( ) 0 (3) ( ) 0,1, 2, b a b n a x x a b x dx x x dx n r r r ³ " Î > = ò ò 存在， L 则称r(x)为区间[a,b]上的权函数. 定义7.2 设f(x),g(x)ÎC[a, b], r(x)为[a,b]上的权函数,称 ò = b a ( f , g) r(x) f (x)g(x)dx 为函数f(x),g(x)在[a,b]上带权函数r(x)的内积. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 定义73f(x)在Ca,b上的范数(norm)定义为 /出=Jp(x)/(x)a If=0p(x)[f(x)rdx /D=maxf(x)( Chebyschev范数) 定义74若(g)=0,则称(x)g(x)在[a,b上带权p(x)正 交,记为fg 定义7.5若函数系{po(x),q1(x,…,qn(x),…,}满足 b ≠J (2,)=p(x)(x)D,(x)dhx= p>0.=j 则称o(x),q1(x),…,m(x),…是区间[a,b上带权p(x)的 正交函数系 3 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 33 定义7.3 f(x)在C[a,b]上的范数(norm)定义为 1 1 2 2 2 [ , ] ( ) ( ) ( )[ ( )] max ( ) ( ) b a b a x a b f x f x dx f x f x dx f f x Chebyschev r r ¥ Î = é ù = ê ú ë û = ò ò 范数 定义7.4 若(f,g)=0, 则称f(x),g(x)在[a,b]上带权r(x)正 交, 记为f^g. 定义7.5 若函数系{j0 (x), j1 (x), …, jm(x), … }满足 2 2 0, ( , ) ( ) ( ) ( ) 0, b i j i j a i i j x x x dx i j j j r j j j ì ¹ ï = = í ï > = î ò 则称j0 (x), j1 (x), …, jm(x), …是区间[a,b]上带权r(x)的 正交函数系. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 定义7.6设X是线性赋范空间,Φ是X的一个子集,若对 X中给定的函数/在①中存在一函数y,使 min ∈d 则称y是Φ中对f的最佳逼近函数 若-y=min-y,则称y是中中对/的最佳一致 逼近函数 若/y1=m-y2,则称y是中中对/的最佳平方 逼近函数 §2最佳平方逼近 、函数的最佳平方逼近 为计算方便,将定义76中的最佳平方逼近改为 设八(x)∈Ca,b,若存在y∈Φ=span{pQ1…,qm}使 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 44 定义7.6 设X是线性赋范空间, F是X的一个子集, 若对 X中给定的函数f, 在F中存在一函数y * , 使 min y f y f y * ÎF - = - 则称y *是F中对f 的最佳逼近函数。 若 , 则称y *是F中对f 的最佳一致 逼近函数. min y f y f y * ¥ ÎF ¥ - = - 若 , 则称y *是F中对f 的最佳平方 逼近函数. 2 m 2 in y f y f y * ÎF - = - §2 最佳平方逼近 一、函数的最佳平方逼近 为计算方便, 将定义7.6中的最佳平方逼近改为: 设f(x)ÎC[a, b], 若存在y * ÎF=span{j0 , j1 , …, jm}使 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 If-y=min lf -y2=min p(x)((x-y(x),dx 则称y是(x)在Φ中的最佳平方逼近函数 定理7,2f(x)在Φ中的最佳平方逼近存在且唯 090)(q02Q1) o,, (f,q0 (q10)(q1Q1) (f,q1) (73) (m20)(qn21)…(n2q ( (p 方程组(7,3存在唯一的一组解:a0,a1, 有 (x)=∑q(x) 余项 E(x)2=/2-∑(9C PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 55 2 2 2 2 2 min min ( )( ( ) ( )) b y y a f y f y r x f x y x dx * ÎF ÎF - = - = - ò 则称y *是f(x)在F中的最佳平方逼近函数。 定理7.2 f(x)在F中的最佳平方逼近存在且唯一. 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (7.3) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) m m m m m m m m a f a f a f j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j é ùé ù é ù ê úê ú ê ú ê úê ú = ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú êë úûêë úû ê ú ë û L L M M O M M M L 方程组(7.3)存在唯一的一组解: a0 * , a1 * , …, am * . 有: 0 ( ) ( ) m j j j y x a x j * * = = å 余项 2 2 2 2 0 ( ) ( , ) m j j j E x f f a j * = = -å PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com