例2计算∫Dy,其中D是抛物线y2=x及直线 y=x-2所围成的闭区域 解:为计算简便先对x后对y积分 x D y≤x≤y+2 4x y y=x-2 +2 xydo=d xvax D y+ yl dy =2J_Ly(+2)-y]d 1+3+249123 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 d , D xy 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, D : xy d x D xyd − = 2 1 dy − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 −1 4 o y x y 2 2 y x y + −1 y 2 2 y y + 2 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.计算 dxdy,其中D是直线y=x,y=0 D x x=丌所围成的闭区域 解:由被积函数可知,先对x积分不行, 因此取D为X-型域 Dx=兀 O D ∫0≤y≤x 0<x<丌 sinx dxd 丌sinx y dxd X 0 X sin xdx=[cos x I 0 0 说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 计算 d d , sin D x y x x 其中D 是直线 所围成的闭区域. o x y D x = y = x 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : x y x D 0 0 : D x y x x d d sin x y 0 d = 0 sin xdx = 2 = 0 d sin x x x 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.交换下列积分顺序 √2 1=J dx 2/(x, y)dy+ dx] f(x, y)d 解:积分域由两部分组成 y Dy 0≤y D 0≤y≤v8 0<x<2 2<x<2√2 将D=D1+D2视为y型区城,则 022√2x y≤x√8-y D 0≤y≤2 y I=J,S(x, y)dxdy= orf(x,y)dx 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
例4. 交换下列积分顺序 − = + 2 2 8 0 2 2 2 2 0 2 0 d ( , )d d ( , )d x x I x f x y y x f x y y 解: 积分域由两部分组成: , 0 2 0 : 2 2 1 1 x y x D 8 2 2 x + y = D2 2 2 y o 2 x D1 2 2 1 y = x 2 − 2 2 2 0 8 : 2 2 x y x D 将D = D1 + D2 D : 视为Y–型区域 , 则 2 2y x 8 − y 0 y 2 = D I f (x, y)d xd y − 2 8 2 ( , )d y y f x y x = 2 0 dy 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.计算Ⅰ=nxln(+1+y2dxdy,其中D由 D y=4-x2,y=-3x,x=1所围成 解:令f(x,y)=xlm(y+√1+y y=4-x2 D=D1+D2(如图所示) 显然,在D1上,f(-x,y)=-f(x,y) D O 在D2上,f(x2-y)=-f(x,y) x=1 xIn(y+1+y)dxdy Dy xn(y+√1+y2dxdy=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 计算 其中D 由 4 , 2 y = − x y = −3x, x =1 所围成. o y 1 x 2 y = 4 − x y = −3x D2 D1 x =1 解: 令 ( , ) ln( 1 ) 2 f x y = x y + + y D = D1 + D2 (如图所示) 显然, , 在D1上 f (−x, y) = − f (x, y) , 在D2上 f (x,−y) = − f (x, y) I x y y x y D ln( 1 )d d 1 2 = + + x y y x y = 0 D ln( 1 )d d 2 2 + + + 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、利用极坐标计算二重积分 =0+△ 在极坐标系下,用同心圆r=常数 6=6 及射线θ=常数,分划区域D为 △ △Ok(k=1, O 则除包含边界点的小区域外小区域的面积 k +△ △n k △k [rk+(k+Av)AkAk7△ △ k △1 △n 在△ak内取点(k,O对应有 Sk=k Cos k, nk =k sin e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y o k k k = r r k k k k k k = r cos , = r sin 对应有 二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 k (k 1,2, ,n) k = 在 k ( , ), k k r = k = k + k k r = r k k k − r 2 2 1 内取点 k k k = r + r 2 2 1 ( ) 及射线 =常数, 分划区域D 为 k r k r k k k r 机动 目录 上页 下页 返回 结束