第一章 第四 无穷小与无穷大 无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大
无穷小 定义1.若x→>x时,函数f(x)→>0,则称函数f(x) 或x->∞) 为x→>x0时的无穷小 (或x→>∞) 例如 lim(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 lim-=0,函数当x→∞时为无穷小 X lim =0,函数 X v7一当x→>-∞时为无穷小 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x → ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x → ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1.若x→x0(或x->∞)时,函数f(x)→>0,则 则称函数f(x)为x→x0(或x→>∞)时的无穷小 说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小 因为 lmC=0>0.彐δ>0 x→>x0 当0<x-x<时 C-0<E 显然C只能是0! 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x → ) 时 , 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x → ) 则 时的无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.(无穷小与函数极限的关系) lim f(x)=A f(x)=A+a,其中c为x->x x->x0 时的无穷小量 证:imf(x)=A x→>x0 VE>0,3>0,当0<x-x0<6时有 f(x)-A|<6 a=f(x)- lim a=o x→>x 对自变量的其它变化过程类似可证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0 0, 0, 当 0 x − x0 时,有 f (x) − A = f (x) − A lim 0 0 = → x x 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在δ>0(正数X),使对 一切满足不等式0<x-x0<0(x|>X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x0(x->)时为无穷大,记作 limf(x)=∞.(limf(x)=∞) 若在定义中将①式改为∫(x)>M(f(x)<-M) 则记作limf(x)=+∞(limf(x)=-∞) x->x℃o x→>0 (x→>∞) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x X ) ( x → ) (lim ( ) = ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x) −M ), 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束