用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1.将二次型表成矩阵形式f=xTAx,求出A; 2.求出A的所有特征值1,22，，2n; 3.求出对应于特征值的特征向量51,52，，5n; 4.将特征向量51,52，，5正交化，单位化，得 71,72,,7n,记C=(71,72,,7n)方 5.作正交变换x=Cy,则得f的标准形 f=1y2+.+ny2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1. f x Ax, A; 将二次型表成矩阵形式 = T 求出 2. , , , ; 求出A的所有特征值1 2 n 3. , , , ; 求出对应于特征值的特征向量 1 2 n , , , , ( , , , ); 4. , , , , , 1 2 1 2 1 2 n n n C 记 = 将特征向量 正交化 单位化 得 . 5. , 2 2 1 1 n n f y y x Cy f = + + = 作正交变换 则得 的标准形
例2将二次型 f=17x7+14x2+14x3-4x1x2-4x1x3-8x2x3 通过正交变换x=Py,化成标准形 解 1.写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 -2 -2 A= -2 14 -2 -4 14 17-2 -2 -2 A-E= -2 14-元 -4卡(-18)2(-9) -2 -4 14- 区回
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 − − − − − − = 2 4 14 2 14 4 17 2 2 A − − − − − − − − − − = 2 4 14 2 14 4 17 2 2 A E ( 18) ( 9) 2 = − − , . 17 14 14 4 4 8 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 通过正交变换 化成标准形 将二次型 x Py f x x x x x x x x x = = + + − − − 例2
从而得特征值21=9，九2=23=18. 2.求特征向量 将1=9代入(A-2E)x=0,得基础解系 51=(1/2,1,1) 将22=3-18代入(A-2E)x=0,得基础解系 52=(-2,1,0),53=(-2,0,1) 3.将特征向量正交化 取 [,5」 01=51,a2=52,43=53- 得正交向量组 o:.@.jo a1=(1/2,1,1),a2=(-2,1,0)', a3=(-2/5,-4/5,10
从而得特征值 9, 18. 1 = 2 = 3 = 将1 = 9代入(A − E)x = 0,得基础解系 2．求特征向量 将2 = 3 = 18代入(A− E)x = 0,得基础解系 ( 2,1,0) , 2 = − T ( 2,0,1) . 3 = − T 3．将特征向量正交化 , 1 1 取 = (1 2,1,1) . 1 T = , 2 = 2 , , , 2 2 2 2 3 3 3 = − 得正交向量组 ( 2 5, 4 5,1) . 3 = − − T ( 2,1,0) , 2 = − T 1 (1 2,1,1) , T =
4.将正交向量组单位化，得正交矩阵P 令 =0=12认 (13 -2/5 -2/W45 得 1=2/3n2= -4/45 2/3 5/W45 1/3 -2/5 -2/W45 所以 P 2/3 1/5 -4/V45 2/3 0 5/45
= , (i = 1,2,3), i i i 令 得 , 0 1 5 2 5 2 − , = 2 3 2 3 1 3 1 = . 5 45 4 45 2 45 3 − − = . 2 3 0 5 45 2 3 1 5 4 45 1 3 2 5 2 45 − − − 所以 P = 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
于是所求正交变换为 1 1/3-2/W5-2/W45 X2 = 2/3 1/W5 -4/√45 2/3 0 5/V45 且有 f=9y2+18y陉+18y3. 上页
于是所求正交变换为 , 2 3 0 5 45 2 3 1 5 4 45 1 3 2 5 2 45 3 2 1 3 2 1 − − − = y y y x x x 9 18 18 . 2 3 2 2 2 1 且有 f = y + y + y