3单侧连续 定义3若函数f(x)在(a,x内有定义,且f(x-0)=f(x0) 则称f(x)在点x处左连续; 定义4若函数f(x)在x02,b)内有定义,且f(x0+0)=f(x0), 则称f(x)在点x处右连续 定理函数f(x)在x处连续兮是函数f(x)在x 处既左连续又右连续 上一页下一页返回
3.单侧连续 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x 定义3 f x a x f x − = f x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x 定义4 f x x b f x + = f x
「x+2,x≥0 例2讨论函数f(x) 在x=0处的 x-2,x<0 连续性 #f limf (x)=lim(x+2)=2=f(0), limf(x)=lim(x-2)=-2*f(0) x→0 0 右连续但不左连续, 故函数f(x)在点x=0处不连续 上一页下一页返回
例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间a,b内连续,并且在左端点 x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称 函数f(x)在闭区间a,b上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如有理函数在区间(-∞,+∞)内是连续的 上一页下一页返回
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理函数在区间(−,+)内是连续的
例3证明函数y=sinx在区间(-∞o,+∞)内连续 证任取x∈(-0,+∞), △ Ay=sin(x+ Ax)-sin x=2 sin. cos(x+) 2 2)≤1, cos(x+a) ,则Ay52imA 2 对任意的a,当α≠0时,有sima<a, 故Ay≤2sin<Ax,∴当△x→Q时,4y→0 2 即函数y=six对任意x∈(-∞,+0)都是连续的 上一页下一页返回
例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的