可微的必要条件 如果u=f(x)在x可微，则 1、f在x处连续 2、了沿任意方向u=(e0s4,一，co0s8,的方向导数可（，)存在，特别 (x存在 x. dx of(x)of(x) df(xo)=x 2 证明：在f+A)-f)=立L(,A+o(ax)武中令A=0,i≠j,A,≠0，得 f区，+△xe,)-f,)=L,,)Ax+oAx0,两边除以Ay并令Ax→0得可（化，）=L, 0-水四)0器awo-空会L-空碧a0
可微的必要条件 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 ( ) 1 2 (cos , ,cos ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c ) = so , , n i n i i n i i n i i n u f f f f f x dx f f df dx x x f x x f x f d x x x x u x x x u x u x x x 如果 在 可微，则 、 在 处连续 、 沿任意方向 的方向导数 存在，特别 存在 ， 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) + 0, , 0, ( ) ( ) ( ) + , 0 ( ) , ( ) , = (0)= cos n i i i j i j j j i j j j j j n n i i i i i i t f f L x o x i j x f f x f L x o x x x L x f f f dx t f t x dt x x x x x x x e x x x x x x u x u 证明：在 式中令 得 两边除以 并令 得 构造 得
例 (x,y,z)=1+ ++ 61218 单位向店1小求别 n12,3) .dudu。 -cosa+ ou cos B+ cosy on &x ay ou =1.1+1,111V3 m2)3V万+3店3店3
例 2 2 2 (1,2,3) 1 ( , , ) 1 {1,1,1} 6 12 18 3 x y z u u x y z n n ，单位向量 ，求 (1,2,3) cos cos cos 1 1 1 1 1 1 3 = . 3 3 3 3 3 3 3 u u u u n x y z u n
例 =fx=++20 x2y 0, x2+y2≠0 对任意m=(cs0,sm趴(Q0存在，但y在00不可管 0.5 025 0
例 2 2 2 4 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 (cos ,sin ), 0 0) 0 0) x y x y u f x y x y x y f f u u 对任意 ( ，存在，但 在( ，不可微
可微的充分条件 如果f(x)在x的邻域存在偏导数 （仅b1=1,2…,这些偏导数在x,连续， 8x 则f(x)在x可微 由微分中值定理得到r,+A）-j,)=(EAx,其中-x<Ax 台ax 将上式政写+--空x心+空其 a- 偏导数的连续性，△k→0→0
可微的充分条件 0 0 0 0 ( ) ( ) 1,2, , ( ) i f f i n x f x x x x x x 如果 在 的邻域存在偏导数 ， ，这些偏导数在 连续， 则 在 可微 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) + = ( ) ( ) 0 n i i i i i n n i i i i i i i i i i f f f x x f f f x x x f f x x x x x x ξ ξ x x x x x x ξ x 偏导数的连续性， 由微分中值定理得到 其中 将上式改写为 ，其中
例 1、讨论函数fx,)=V2+y 2，x2+y20 在(0,0)处的连续性和可微性 0, x2+y2≠0 2、求二元函数z=e在点(0,1)处当△x=0.1,△y=0.2时的改变量△z和全微分d 3、证明函数f(x,y)= e+中y+0 在(0,0)可微 0, x2+y2≠0 但j,,在(0,0)处间断 4、求√1.973+1.01的近似值
例 2 2 2 2 2 2 , 0 1 ( , ) 0 0) 0, 0 xy x y f x y x y x y 、讨论函数 在( ，处的连续性和可微性 2 (0,1) 0.1 0.2 xy 、求二元函数z e x y z dz 在点 处当 ， 时的改变量 和全微分 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin , 0 3 ( , ) 0 0) 0, 0 , (0,0) x y x y x y f x y x y x y f f 、证明函数 在( ，可微 但 在 处间断 3 3 4 1.97 +1.01 、求 的近似值