《线性代数》第一章习题解答 1.确定下列排列的逆序数，并指出它们是奇排列还是偶排列. (1)41253 (2)654321(3)nn-1(n-2)…321 解：(1)x(41253)=4偶排列 (2)t(654321)=15奇排列 (3)nn-1)…32.)=nn-1) 当n=4织或4织+1时： 偶排列 当n=4织+2或4明+3时，奇排列. -1325 2只？ 706 9 ，试求：A4A2,A2 16231419 1270 解：A4=(-1)-4311=908 162314 -125 42=(-12*2-4119=-803 161419 -125 42=(-1)2*31206=-660 161419 124 -1 3设四阶行列式！11 1 ，试求：A41+A2+A+A4 -256 8 31-5-2 1124-1 1111 解：A1+A2+A3+A4= -2568 =0 1111
-1- 《线性代数》第一章习题解答 1．确定下列排列的逆序数，并指出它们是奇排列还是偶排列. （1）41253 （2）654321 （3） n n n ( 1)( 2) 3 2 1 − − 解：（1） (41253) 4 = 偶排列 （2） (654321) 15 = 奇排列 （3） 1 2 ( ( 1) 3 2 1) ( 1) n n n n − = − ， 当 n = + 4 4 1 或 时： 偶排列 当 n = + + 4 2 4 3 或 时，奇排列. 2．设四阶行列式 1 3 2 5 12 7 0 6 4 3 11 9 16 23 14 19 − − ，试求： 14 22 32 A A A , , . 解： 1 4 14 12 7 0 ( 1) 4 3 11 908 16 23 14 A + = − − = ， 2 2 22 1 2 5 ( 1) 4 11 9 803 16 14 19 A + − = − − = − ， 2 3 32 1 2 5 ( 1) 12 0 6 660 16 14 19 A + − = − = − 3．设四阶行列式 1 2 4 1 1 1 1 1 2 5 6 8 3 1 5 2 − − − − ，试求： 41 42 43 44 A A A A + + + . 解： 41 42 43 44 1 2 4 1 1 1 1 1 0 2 5 6 8 1 1 1 1 A A A A − + + + = = −
4.计算下列行列式： 1352 a12 (1)423 (2) 09 0 -124 0 -2 1 0 0 0 0 (3) 03 2 -1 (3) 0 0 02 4-10 -3 0 a 12 -6 a a 1 0 0 0 a b -1b 1 0 a (5) 0 1 (6) c b a 0 0 0 -1 a b a 1+x 1 1 1 1 1 (7) 1-x 1 11+y 1 1 1 1-川 解：(1)-69(2)-a142241 (3)0(4)a14a202a41 (5)abcd+ab+cd+ad+1 (6)b(b2-4a2)(7)x'y2 5.证明： la? ab b2 (1)2aa+b2b=(a-b) 111 ax+by ay+bz az+bx x y (2)ay+bz az+bx ax+by =(a+b)y =x az+bx ax+by ay+bz x y a2(a+1)2(a+2)2(a+3) (3) 62(b+1)2(b+2)2(b+3) c2(c+1)2(c+2)}2(c+3) =0 d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2
-2- 4．计算下列行列式： （1） 3 5 2 4 2 3 −1 2 4 （2） 11 12 13 21 22 31 0 0 0 a a a a a a （3） 1 2 1 0 0 3 2 1 4 1 0 3 1 2 6 3 − − − − − − （3） 14 23 24 32 33 34 41 42 43 44 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a （5） 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 a b c d − − − （6） 0 0 0 0 a b a a a b b a a a b a （7） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x y y + − + − 解：（1）-69 （2） −a a a 13 22 31 （3）0 （4） a a a a 14 23 32 41 （5） abcd ab cd ad + + + +1 （6） 2 2 2 b b a ( 4 ) − （7） 2 2 x y 5．证明： （1） 2 2 3 2 2 ( ) 1 1 1 a ab b a a b b a b + = − （2） 3 3 ( ) ax by ay bz az bx x y z ay bz az bx ax by a b y z x az bx ax by ay bz z x y + + + + + + = + + + + （3） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) 0 ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) a a a a b b b b c c c c d d d d + + + + + + = + + + + + +
(4) 1 11 1 b cd b2 d =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d) a b c d 解：证明略。 x y 6. 已知 02 3=1, 求下列各行列式的值 11 x-1y-1-1 (1)02 3 (2)13 4 111 11 1 x y (3)3x3y+43z+6 x+1y+12+1 (2)1(3)2 a1a2a3…am a21a2a23… 42m 7.n阶行列式D=a1 dn a3g… di 中，若 … … … … aan2an3…am a,=-anij=1,2,…,n那么称Dn为反对称行列式(n阶) 证明：奇数阶反对称行列式等于零. 明 a1a21a31…an -012 -a13 a12a2a2…an2 -022 -a23 … -02m Dh=a3a23a…an -as -a32 -a3 … … … … … … aa2na3…am-a1 -0n2 -d,m =(-1)Dn=(-1)2Dn=-Dn,∴Dn=0
-3- (4) 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 1 ( )( )( )( )( )( )( ) a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d = − − − − − − + + + 解：证明略. 6．已知： 0 2 3 1 1 1 1 x y z = ，求下列各行列式的值. （1） 1 1 1 3 3 3 0 2 3 1 1 1 x y z （2） 1 1 1 1 3 4 1 1 1 x y z − − − （3） 3 3 4 3 6 1 1 1 x y z x y z x y z + + + + + 解：（1） 1 3 （2）1 （3）2 7． n 阶行列式 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n n n n n nn a a a a a a a a D a a a a a a a a = 中， 若： , 1, 2, , a a i j n ij ji = − = 那么称 Dn 为反对称行列式（ n 阶）. 证明：奇数阶反对称行列式等于零. 证明： 11 21 31 1 11 12 13 1 12 22 32 2 21 22 23 2 1 13 23 33 3 31 32 33 3 1 2 3 1 2 3 n n n n n n n n n n nn n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − − − = = − − − − − − − − 2 1 ( 1) ( 1) n D D D n n n + = − = − = − ， 0 = D n
8.计算n阶行列式 100…01 1010… 0 0 … 2 0 0 0 … 0 (1) 人 (2 … n-1 … 0 0 … 0 … 0 0 n 0 0 … 0 y…00 0x·0 x-m X2 … 0 Xw X2-m (3) ……… (4) … X. 0 … …x y 0 Xa-m … 0 /1 3 … n-1 n 1 1 0 … 0 (5) 2 2 0 o … … … 0 0 n-1 1-n川 1+a 1 1 1 1+a2 1 (6) 1 1+a … … 1 …1+a a 11… a0 … 0 (7) 1 0 0 (aa2…an≠0) ……… 100… (2)(-1)nl
-4- 8． 计算 n 阶行列式 （1） 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 n n − （2） 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 n n − （3） 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x x y y x （4） 1 2 1 2 1 2 n n n m x m x x x x m x x x x − − − （5） 1 2 3 1 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1 1 n n n n − − − − − （6） 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n a a a a + + + + （7） 0 1 2 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 n a a a a − ( a a a 1 2 n 0 ) 解： （1） ( 3) 2 ( 1) ! n n n + − （2） 1 ( 1) ! n n + −
(3)x+(-)“y(4)(←m)一（∑x-m)(各列加到第一列） )(-y子a+(各列如到第一列 1+a1 11+a 1 …1 (6)D.= 11+a2…1 11+a2…1 + …… 0 0…an 1 11 a10…0l =aD-1+ 0a3…0 =anDn-1+a42…an- ………… 11.1 =an[an-Dn-2+a,a2…an-2]+a,a2…an-l =…=a0…aa+a03a.+…+a%a-24.+a4aa =1a1+2马) a (仞44aa.a,-(各列乘-加到第一列1≤15n-D a 9.证明 (1) x-10…0 01 …0 0 …… … =x"+ax-+a2x-2+…+an-x+a。 000 …x -1 a a-an2 …a2x+a cosa 1 0 …0 0 1 2cosa 1 …0 0 (2) 0 1 2cosa… 0 0 cos(na) …… 0 0 … 1
-5- （3） 1 ( 1) n n n x y + + − （4） 1 1 ( ) ( ) n n i i m x m − = − − （各列加到第一列） （5） 1 ( 1) ( 1)! 2 n − + n （各列加到第一列） （6） 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 n n a a a a D a + + + + = + 1 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 n n n n n a a = + = + a D a D a a a − − − 1 2 1 2 2 1 2 1 [ ] = + + a a D a a a a a a n n n n n − − − − = = + + + + a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n − − − 1 2 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 1 1 (1 ) n n i i i i a = = a = + (7) 1 1 2 1 0 1 1 ( ) n n n i i a a a a a a − − = − (各列乘 1 i a − 加到第一列 1 1 − i n ) 9． 证明： （1） 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 n n n n n n n n x x x a x a x a x a x a a a a x a − − − − − − − = + + + + + − + （2） cos 1 0 0 0 1 2 cos 1 0 0 0 1 2 cos 0 0 cos( ) 0 0 0 1 2 cos n =