微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用
极大值、极小值 设f:I→R,如果对点x,∈I存在6>0，使得 x∈U(x,δ)时，f(x)≥f(x),(≤f(x) 则称f在x点取得极小值（极大值） 极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 Absolute maximum. No greater value of fanywhere. Local maximum. Also a local maximum. No greater value of fnearby. Local minimum. =f(x) No smaller value of fnearby. Absolute minimum. No smaller value Local minimum. of fanywhere.Also a No smaller value of local minimum. nearby
极大值、极小值 0 0 0 0 0 : , 0, U( , ) ( ) ( ), ( ) f I x I x f x f x f x f x x 设 如果对点 存在 使得 时， 则称 在 点取得极小值 极大值 极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点
Fermat定理 若函数f在其极值点x。∈(a,b)处可导，则必有f'(x)=0 证明：由f在x,取极值知存在 Local maximum value UJ(x,δ)c(a,b),x∈U(x,δ)， f()≥f(x),因此 y=f(x) x。-6<x<: f)-f≥0，→r(x)≥0 x-xo Secant slopes≥0 Secant slopes≤O x+δ>x>, (never negative) (never positive) fx)-f≤0，→f(x)≤0 x-Xo 两边取极限即得
Férmat定理 0 0 若函数f x a b f x 在其极值点 ( , ) ( ) 0 处可导，则必有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( ) ( ), , ( ) ( ) 0 0 , ( ) ( ) 0, 0 o f x U x a b x U x f x f x x x x f x f x f x x x x x x f x f x f x x x 证明：由 在 取极值知存在 ， 因此 ， 两边取极限即得
Fermat,Pierre de (1601--1665) 费马法国数学家，任职律师。自1631年起任图卢滋 议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学， 费马生前性情淡泊，为人谦逊，他不发表著作， 而是在书的边缘上写下一些草率的注记或者偶尔 把他的发现写信告诉他的朋友。后来还是由他的 儿子于I679年把这些造作整理汇集成书《Varia Opera>》共两卷，在图卢兹出版。因为如此的习惯， 他失掉了发现解析几何的优先权。也丢掉了发明 微积分的某些特性的优先权，这些特性后来启发 了牛顿发明了微积分。费马对数论尤其钟爱，他 是近代“数论”的真基者。另外，他也是早期微 积分学的先驱。他于1636年给罗贝瓦尔及1638年 给笛卡儿的信中提出求极大、极小与拐点的步骤， 实际已相当于使导数成零而求极点之方法。这成 为现代微积分中函数取极值之必要条件。而且， 他曾讨论曲线xmyn=k(m,n是正整数)下的面积， 并通过求和过程得到求曲线所围面积之公式此外， 他透过与帕斯卡之通信讨论赌全分配问题，得出 正确解答，因而成为7世纪兴起的概率论的共同 创立者之一。他还于光学研究中提出「费马原 理」，给后世变分法之研究极大的启示
Fermat, Pierre de (1601--1665) 费马法国数学家,任职律师。自1631年起任图卢兹 议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学. 费马生前性情淡泊，为人谦逊，他不发表著作， 而是在书的边缘上写下一些草率的注记或者偶尔 把他的发现写信告诉他的朋友。后来还是由他的 儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书《Varia Opera》共两卷，在图卢兹出版。因为如此的习惯， 他失掉了发现解析几何的优先权。也丢掉了发明 微积分的某些特性的优先权，这些特性后来启发 了牛顿发明了微积分。费马对数论尤其钟爱，他 是近代“数论”的奠基者。另外，他也是早期微 积分学的先驱。他于1636年给罗贝瓦尔及1638年 给笛卡儿的信中提出求极大、极小与拐点的步骤， 实际已相当于使导数成零而求极点之方法。这成 为现代微积分中函数取极值之必要条件。而且， 他曾讨论曲线x m y n = k（m,n是正整数）下的面积， 并通过求和过程得到求曲线所围面积之公式.此外， 他透过与帕斯卡之通信讨论赌金分配问题，得出 正确解答，因而成为17世纪兴起的概率论的共同 创立者之一。他还于光学研究中提出「费马原 理」，给后世变分法之研究极大的启示
驻点 满足x。∈(a,b)且f'(x)=0的点x称为函数f的一个驻点。 5.000 2.500- TnmnTDrpnmnnr -15 -10 5 1015 -2.500 -5.000- y=x3
驻点 0 0 0 满足x a b f x x f ( , ) ( ) 0 且 的点 称为函数 的一个驻点。 3 y x